Assuma que o índice de massa corporal é uma variável com distribuição normal de média
e desvio padrão
. Um adulto é considerado eutrófico se o IMC está entre 20 e 25. Calcular a probabilidade de um adulto ser considerado: eutrófico.
Passo 1
Então, o enunciado nos diz que o índice de massa corporal (IMC) segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Queremos calcular a probabilidade de um adulto ter um IMC entre 20 e 25, ou seja, ser considerado eutrófico. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma distribuição simétrica em forma de sino, onde a maioria dos valores está próxima da média. Para calcular a probabilidade de o IMC estar entre dois valores, precisamos transformar esses valores para a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. Essa transformação é chamada de padronização.
Passo 3
A fórmula para padronizar um valor
é:
Onde:
-
é o valor padronizado, -
é o valor original, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Passo 4
Vamos calcular o valor padronizado para
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre
e
. Isso é representado por:
Onde
é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
Passo 6
Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
Portanto:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 7
Substituindo na equação:
Resposta
A probabilidade de um adulto ser considerado eutrófico é de aproximadamente
.