Assuma que o índice de massa corporal é uma variável com distribuição normal de média e desvio padrão . Um adulto é considerado eutrófico se o IMC está entre 20 e 25. Calcular a probabilidade de um adulto ser considerado: eutrófico.

Passo 1

Então, o enunciado nos diz que o índice de massa corporal (IMC) segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . Queremos calcular a probabilidade de um adulto ter um IMC entre 20 e 25, ou seja, ser considerado eutrófico. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma distribuição simétrica em forma de sino, onde a maioria dos valores está próxima da média. Para calcular a probabilidade de o IMC estar entre dois valores, precisamos transformar esses valores para a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. Essa transformação é chamada de padronização.

Passo 3

A fórmula para padronizar um valor é:
Onde:
  • é o valor padronizado,
  • é o valor original,
  • é a média,
  • é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o valor padronizado para e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de estar entre e . Isso é representado por:
Onde é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Passo 6

Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
Portanto:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 7

Substituindo na equação:

Resposta

A probabilidade de um adulto ser considerado eutrófico é de aproximadamente .

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