Assuma que o índice de massa corporal é uma variável com distribuição normal de média 22,5 kg / m^2 e desvio padrão 1,25 kg / m^2. Um adulto é considerado eutrófico se o IMC está entre 20 e 25. Calcular a probabilidade de um adulto ser considerado: eutrófico.

Passo 1

Então, o enunciado nos diz que o índice de massa corporal (IMC) segue uma distribuição normal com média mu = 22,5 kg/m^2 e desvio padrão sigma = 1,25 kg/m^2. Queremos calcular a probabilidade de um adulto ter um IMC entre 20 e 25, ou seja, ser considerado eutrófico. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma distribuição simétrica em forma de sino, onde a maioria dos valores está próxima da média. Para calcular a probabilidade de o IMC estar entre dois valores, precisamos transformar esses valores para a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. Essa transformação é chamada de padronização.

Passo 3

A fórmula para padronizar um valor X é:
Z = X - musigma
Onde:
  • Z é o valor padronizado,
  • X é o valor original,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o valor padronizado para X = 20 e X = 25.
Para X = 20:
Z1 = 20 - 22,51,25 = -2,51,25 = -2
Para X = 25:
Z2 = 25 - 22,51,25 = 2,51,25 = 2

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre -2 e 2. Isso é representado por:
P(-2 <= Z <= 2) = Phi(2) - Phi(-2)
Onde Phi(z) é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Passo 6

Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
Phi(-2) = 1 - Phi(2)
Portanto:
P(-2 <= Z <= 2) = Phi(2) - (1 - Phi(2)) = 2Phi(2) - 1
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que Phi(2) approx 0,9772.

Passo 7

Substituindo na equação:
P(-2 <= Z <= 2) = 2 times 0,9772 - 1 = 1,9544 - 1 = 0,9544

Resposta

A probabilidade de um adulto ser considerado eutrófico é de aproximadamente 95,44%.

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