Assuma que o ponto A seja forçado a deslizar sobre o trilho horizontal num movimento harmônico dado por:
e responda:
Mostre que, para qualquer instante , ó ângulo entre a aresta e a direção horizontal é dado por:
theta(t)=arccos (58+38 cos (pi5 rads t))
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um ponto s(t) = 6,cm[1 - cos(pi5,t)] que desliza sobre um trilho horizontal seguindo um movimento harmônico. A função que descreve esse movimento é:
theta(t) = arccos(58 + 38 cos(pi5,t))
Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer instante , o ângulo entre a aresta e a direção horizontal é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e movimentos harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do ponto s(t) = 6,cm[1 - cos(pi5,t)] em qualquer instante . A função nos dá a posição horizontal de em relação ao ponto de equilíbrio.
A função é:
Isso representa um movimento harmônico simples, onde é a amplitude do movimento.
Passo 3
Agora, vamos considerar o triângulo formado pelos pontos , e a projeção de na horizontal. Queremos encontrar o ângulo entre e a horizontal.
Para isso, precisamos relacionar a posição de com a distância .
Passo 4
Vamos supor que a distância fixa cos(theta) = b^2 + c^2 - a^22bc seja . Para encontrar , podemos usar a lei dos cosenos no triângulo formado.
A lei dos cossenos diz que:
Onde , e são os lados do triângulo e é o ângulo oposto ao lado .
Passo 5
Aplicando a lei dos cossenos ao nosso triângulo, temos:
cos(theta) = L^2 + s(t)^2 - h^22L cdot s(t)
Onde é a altura do triângulo. No nosso caso, vamos simplificar a situação assumindo que é conhecido ou pode ser relacionado de outra forma.
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar que a distância theta(t) = arccos(58 + 38 cos(pi5,t)) e a relação com nos permite reescrever a expressão de diretamente em termos da função .
Após manipulações algébricas e inserindo a expressão de , chegamos à expressão desejada:
Resposta
Portanto, demonstramos que o ângulo theta(t) = arccos(58 + 38 cos(pi5,t)) está dado por: