Assuma que o ponto A seja forçado a deslizar sobre o trilho horizontal num movimento harmônico dado por:
e responda:
Qual é a velocidade máxima
do vértice A ?
Qual é a velocidade máxima
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto A que está se movendo num trilho horizontal seguindo um movimento harmônico. A equação que descreve esse movimento é $ s(t) = 6 , cm \left[1 - \cos\left(\frac{\pi}{5} t\right) \right] $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade máxima, $ v_{A_{max}} $, que esse ponto A pode atingir durante o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento harmônico simples, a posição do objeto é dada por uma função do tipo $ s(t) = A[1 - \cos(\omega t)] $, onde:
- $ A $ é a amplitude do movimento.
- $ \omega $ é a frequência angular, que nos dá a rapidez com que o objeto oscila.
No nosso caso, comparando as equações, temos:
- $ A = 6 , cm $
- $ \omega = \frac{\pi}{5} , rad/s $
Passo 3
A velocidade instantânea do ponto A é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar a função $ s(t) $ para encontrar $ v(t) $:
Derivando termo a termo:
Passo 4
A velocidade máxima ocorre quando o seno atinge seu valor máximo, que é 1. Portanto, a velocidade máxima $ v_{A_{max}} $ é:
Resposta
A velocidade máxima do vértice A é $ \frac{6\pi}{5} , cm/s $, aproximadamente $ 3,77 , cm/s $.