Assuma que os pressupostos para a distribuição de Poisson são satislecitos. Qual é a probabilidade de encontrar não mais do que duas colisões em uma semana? (1.0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre a distribuição de Poisson. O enunciado pergunta qual é a probabilidade de ter no máximo duas colisões em uma semana. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Poisson e como aplicá-la para calcular probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a taxa média de eventos no intervalo.
  • é a base dos logaritmos naturais.
  • é o fatorial de .

Passo 4

No nosso caso, queremos a probabilidade de não mais do que duas colisões, ou seja, pode ser 0, 1 ou 2. Então, precisamos calcular , e e somar essas probabilidades.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Para P(0; lambda) = lambda^0 e^-lambda0! = e^-lambda :
    P(1; lambda) = lambda^1 e^-lambda1! = lambda e^-lambda
  2. Para P(2; lambda) = lambda^2 e^-lambda2! = lambda^2 e^-lambda2 :
  3. Para :

Passo 6

Agora, vamos somar essas probabilidades para obter a probabilidade de ter no máximo duas colisões:
P(até 2) = P(0; lambda) + P(1; lambda) + P(2; lambda) = e^-lambda + lambda e^-lambda + lambda^2 e^-lambda2 é

Passo 7

Podemos fatorar P(até 2) = e^-lambda (1 + lambda + lambda^22) da expressão:
é

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo duas colisões em uma semana é:
P(até 2) = e^-lambda (1 + lambda + lambda^22) é

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