Determine e use-a para determinar a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar . ( 1,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos determinar a função de distribuição acumulada, que a gente chama de , e então usar essa função para calcular a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que uma estimativa preliminar .
Aqui, estamos lidando com probabilidade e funções de distribuição, que são conceitos fundamentais na estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função de distribuição acumulada (CDF) e como ela nos ajuda a calcular probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada . Ela nos mostra a probabilidade de que uma variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é representado como:
Ou seja, acumula todas as probabilidades até o valor .

Passo 3

Agora, para determinar , precisamos saber qual é a distribuição da variável aleatória . Como o enunciado não especifica, vamos supor que segue uma distribuição uniforme no intervalo , onde é um valor máximo que o lance pode assumir. A distribuição uniforme é uma boa suposição quando todos os resultados no intervalo são igualmente prováveis.
Para uma distribuição uniforme, a função de densidade de probabilidade (PDF) é:
á

Passo 4

Com a PDF definida, podemos encontrar a função de distribuição acumulada integrando a PDF de 0 a :
Substituindo na integral:
Então, a função de distribuição acumulada é:

Passo 5

Agora que temos , podemos usar essa função para determinar a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar .
Queremos calcular . Pela definição de :

Resposta

A função de distribuição acumulada é . A probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar é .

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