Determine
e use-a para determinar a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar
. ( 1,5 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos determinar a função de distribuição acumulada, que a gente chama de
, e então usar essa função para calcular a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que uma estimativa preliminar
.
Aqui, estamos lidando com probabilidade e funções de distribuição, que são conceitos fundamentais na estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função de distribuição acumulada (CDF) e como ela nos ajuda a calcular probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada
. Ela nos mostra a probabilidade de que uma variável aleatória
seja menor ou igual a um certo valor
. Matematicamente, isso é representado como:
Ou seja,
acumula todas as probabilidades até o valor
.
Passo 3
Agora, para determinar
, precisamos saber qual é a distribuição da variável aleatória
. Como o enunciado não especifica, vamos supor que
segue uma distribuição uniforme no intervalo
, onde
é um valor máximo que o lance pode assumir. A distribuição uniforme é uma boa suposição quando todos os resultados no intervalo são igualmente prováveis.
Para uma distribuição uniforme, a função de densidade de probabilidade (PDF) é:
Passo 4
Com a PDF definida, podemos encontrar a função de distribuição acumulada
integrando a PDF de 0 a
:
Substituindo
na integral:
Então, a função de distribuição acumulada é:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar essa função para determinar a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar
.
Queremos calcular
. Pela definição de
:
Resposta
A função de distribuição acumulada é
. A probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar
é
.
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