Assuma que o tempo de duração X de uma consulta tenha distribuição exponencial com média de 10 minutos. Calcule a probabilidade de uma consulta demora mais do que o tempo médio. ( 1.5 ponto)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que o tempo de uma consulta, representado por , segue uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Precisamos calcular a probabilidade de uma consulta durar mais do que o tempo médio, ou seja, mais de 10 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos da distribuição exponencial e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição exponencial, o parâmetro lambda = 1mu está relacionado à média lambda = 110 pela fórmula:
Como a média é 10 minutos, temos:

Passo 3

A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é:
f(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
Mas como queremos a probabilidade de P(X > x) = e^-lambda x ser maior que 10 minutos, usamos a função de distribuição acumulada complementada, que é:

Passo 4

Substituindo os valores que temos na fórmula, onde P(X > 10) = e^-110 times 10 = e^-1 e :

Passo 5

Calculando o valor de e^-1 approx 0,3679 :
Isso significa que a probabilidade de uma consulta durar mais de 10 minutos é de aproximadamente 36,79%.

Resposta

A probabilidade de uma consulta demorar mais do que o tempo médio de 10 minutos é de aproximadamente 36,79%.

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