Assuma que você resolveu a equação de Schroedinger independente do tempo para uma partícula de massa
presa em uma caixa de tamanho
e encontrou as seguintes soluções:
onde
e as energias associadas a estas soluções são
. No instante
você realiza uma medida da energia desta partícula e encontra
com uma incerteza experimental de 2 eV .
c) Se após um longo tempo medirmos novamente a energia da partícula, qual valor médio encontraremos? Qual a incerteza neste valor?
c) Se após um longo tempo medirmos novamente a energia da partícula, qual valor médio encontraremos? Qual a incerteza neste valor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula presa em uma caixa, onde resolvemos a equação de Schrödinger e encontramos funções de onda e energias associadas. A gente tem que descobrir, depois de um tempão, qual média de energia vai aparecer numa nova medição e qual é a incerteza desse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica como estados estacionários, superposição de estados e a ideia de valores esperados. Vamos dividir isso em passos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a partícula tem energias $ E_n = 2,35,n^2 $ eV. Cada valor de $ n $ (1, 2, 3, …) corresponde a um estado estacionário específico com sua própria energia. Quando medimos a energia, a partícula “escolhe” um desses estados. No instante $ t=0 $, medimos $ E = 21 $ eV com uma incerteza de 2 eV. Isso sugere que a partícula estava em uma superposição de estados próximos a essa energia.
Passo 3
Vamos descobrir quais valores de $ n $ correspondem a energias próximas de 21 eV. Sabemos que $ E_n = 2,35,n^2 $. Vamos resolver para $ n $:
Como $ n $ deve ser inteiro, os valores mais próximos são $ n=3
n=3 $), com energia $ E_3 = 2,35 \times 9 = 21,15 $ eV, que está muito próximo de 21 eV.
Passo 4
Agora, como medimos $ E=21 $ eV com uma incerteza de 2 eV, isso indica que há uma pequena variação em torno do estado $ n=3 $. Porém, como $ n $ deve ser inteiro e a energia $ E_3 $ já está quase igual a 21 eV, podemos considerar que a partícula está majoritariamente no estado $ n=3 $. Após um longo tempo, a partícula permanece nesse estado se não houver perturbações externas.
Passo 5
Para encontrar o valor médio da energia após um longo tempo, usamos o valor esperado da energia no estado $ n=3 $, que é simplesmente $ E_3 = 21,15 $ eV. Como a partícula está praticamente nesse estado, a média da energia será igual a $ E_3 $.
Passo 6
Quanto à incerteza, após um longo tempo, a incerteza na energia depende da dispersão dos valores de energia possíveis. Já que a partícula está majoritariamente no estado $ n=3 $ e a medição inicial sugeriu uma incerteza de 2 eV, essa incerteza permanece. Portanto, a incerteza no valor médio da energia também é de 2 eV.
Resposta
Após um longo tempo, a média da energia encontrada será aproximadamente $ 21,15,eV $ com uma incerteza de $ 2,eV $.