Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
e) Se realizarmos várias medidas da velocidade da partícula, qual será o valor médio encontrado? E sua incerteza?
Dica:
e) Se realizarmos várias medidas da velocidade da partícula, qual será o valor médio encontrado? E sua incerteza?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com uma função de onda específica. O objetivo aqui é encontrar o valor médio da velocidade dessa partícula quando medimos várias vezes, além da incerteza dessa medida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente operadores de momento e velocidade, e como calcular seus valores esperados.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a velocidade $ v $ da partícula está relacionada ao seu momento $ p $ pela relação:
onde $ m $ é a massa da partícula. Em mecânica quântica, o operador de momento $ \hat{p} $ no espaço das posições é dado por:
Portanto, o operador de velocidade $ \hat{v} $ é:
Passo 3
Para encontrar o valor médio da velocidade $ \langle v \rangle $, calculamos a expectativa do operador $ \hat{v} $ na função de onda $ \psi(x, t) $:
Onde $ \psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \psi(x, t) $.
Passo 4
Vamos calcular $ \langle v \rangle $. Substituindo $ \hat{v} $ na integral:
Observando a função de onda dada:
Como $ A $, $ \alpha $ e $ \beta $ são reais, o complexo conjugado é:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Calculando a derivada dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos analisar as integrais:
- $ \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-2\alpha x^{2}} dx $: Esta é uma integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, o que resulta em zero.
- $ \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-2\alpha x^{2}} dx $: Também é uma integral de uma função ímpar, portanto, resulta em zero.
Então, ambos os termos são zero:
Passo 7
Agora, vamos calcular a incerteza na velocidade $ \Delta v $. A incerteza é dada por:
Já sabemos que $ \langle v \rangle = 0 $, então:
E:
Passo 8
Para encontrar $ \langle p^{2} \rangle $, usamos:
Onde $ \hat{p}^{2} = (-i\hbar \frac{d}{dx})^{2} = -\hbar^{2} \frac{d{2}}{dx{2}} $.
Passo 9
Calcular a derivada segunda da função de onda:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo na expressão para $ \langle p^{2} \rangle $:
Simplificando:
Passo 11
Usando a dica fornecida no enunciado:
Então:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 4 $:
Passo 12
Substituindo de volta na expressão para $ \langle p^{2} \rangle $:
Passo 13
Portanto, a incerteza na velocidade é:
Resposta
O valor médio da velocidade da partícula é zero, isto é, $ \langle v \rangle = 0 $. A incerteza na medida da velocidade é $ \Delta v = \frac{\hbar^{2} A \sqrt{\pi}}{2m \alpha^{1/4}} $.