Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
e) Se realizarmos várias medidas da velocidade da partícula, qual será o valor médio encontrado? E sua incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com uma função de onda específica. O objetivo aqui é encontrar o valor médio da velocidade dessa partícula quando medimos várias vezes, além da incerteza dessa medida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente operadores de momento e velocidade, e como calcular seus valores esperados.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade $ v $ da partícula está relacionada ao seu momento $ p $ pela relação:
v
onde $ m $ é a massa da partícula. Em mecânica quântica, o operador de momento $ \hat{p} $ no espaço das posições é dado por:
p
Portanto, o operador de velocidade $ \hat{v} $ é:
v = pm

Passo 3

Para encontrar o valor médio da velocidade $ \langle v \rangle $, calculamos a expectativa do operador $ \hat{v} $ na função de onda $ \psi(x, t) $:
lang<= v rang<=
Onde $ \psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \psi(x, t) $.

Passo 4

Vamos calcular $ \langle v \rangle $. Substituindo $ \hat{v} $ na integral:
lang<= v rang<=
Observando a função de onda dada:
v
Como $ A $, $ \alpha $ e $ \beta $ são reais, o complexo conjugado é:
lang<= v rang<= = -ihbarm integral-infty^infty psi^*(x, t) ddx psi(x, t) , dx
Então, substituindo na integral:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2

Passo 5

Calculando a derivada dentro da integral:
ddx ( x e^-alpha x^2 ) = e^-alpha x^2 + x cdot (-2alpha x) e^-alpha x^2 = e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2
Substituindo de volta na integral:
lang<= v rang<= = -ihbarm A^2 e^-i beta2 t integral-infty^infty x e^-alpha x^2 ( e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2 ) dx
Simplificando:
lang<= v rang<= = -ihbarm A^2 e^-i beta2 t ( integral-infty^infty x e^-2alpha x^2 dx - 2alpha integral-infty^infty x^3 e^-2alpha x^2 dx )

Passo 6

Agora, vamos analisar as integrais:
  1. $ \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-2\alpha x^{2}} dx $: Esta é uma integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, o que resulta em zero.
  2. $ \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-2\alpha x^{2}} dx $: Também é uma integral de uma função ímpar, portanto, resulta em zero.
Então, ambos os termos são zero:
integral-infty^infty x e^-2alpha x^2 dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a incerteza na velocidade $ \Delta v $. A incerteza é dada por:
De
Já sabemos que $ \langle v \rangle = 0 $, então:
De
E:
lang<= v rang<= = 0

Passo 8

Para encontrar $ \langle p^{2} \rangle $, usamos:
lang<= p^2 rang<=
Onde $ \hat{p}^{2} = (-i\hbar \frac{d}{dx})^{2} = -\hbar^{2} \frac{d{2}}{dx{2}} $.

Passo 9

Calcular a derivada segunda da função de onda:
d^2dx^2 ( x e^-alpha x^2 ) = ddx ( e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2 ) = -2alpha x e^-alpha x^2 - 2alpha x e^-alpha x^2 + 4alpha^2 x^3 e^-alpha x^2
Simplificando:
d^2dx^2 ( x e^-alpha x^2 ) = -4alpha x e^-alpha x^2 + 4alpha^2 x^3 e^-alpha x^2

Passo 10

Substituindo na expressão para $ \langle p^{2} \rangle $:
lang<= p^2 rang<=
Simplificando:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 A^2 e^i beta2 t e^-i beta2 t integral-infty^infty x e^-alpha x^2 ( -4alpha x e^-alpha x^2 + 4alpha^2 x^3 e^-alpha x^2 ) dx

Passo 11

Usando a dica fornecida no enunciado:
integral-infty^infty x^n e^-a x^2 dx = raizpia (n-1)!!(2a)^n/2, para n par
Então:
  1. Para $ n = 2 $:
n = 2
  1. Para $ n = 4 $:
integral-infty^infty x^2 e^-2alpha x^2 dx = raizpi2alpha 1!!(4alpha)^1 = raizpi4alpha^3/2

Passo 12

Substituindo de volta na expressão para $ \langle p^{2} \rangle $:
lang<= p^2 rang<=

Passo 13

Portanto, a incerteza na velocidade é:

Resposta

O valor médio da velocidade da partícula é zero, isto é, $ \langle v \rangle = 0 $. A incerteza na medida da velocidade é $ \Delta v = \frac{\hbar^{2} A \sqrt{\pi}}{2m \alpha^{1/4}} $.

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