A força entre atomos em uma molecula diatomica (oxigênio) tem sua origem em interaçöes interatómicas e, para atomos simples, a energia potencial é representada com grande aproximaçaaro pela funçāo energia potencial u(r)=u0[(ar)^12-(ar)^6] em que r é a distància entre os átomos u0 e a săo constantes com valores de 5.6 times 10^- it ^21 J e 3.5 times 10^-10 m, respectivamente Calcule a distância de equilibrio r0 que ocorre para a posiçäo de força nula.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma molécula diatômica de oxigênio, e a força entre os átomos é descrita por uma função de energia potencial:
u(r) = u0 [ ( ar )^12 - ( ar )^6 ]
Aqui, é a distância entre os átomos, e são constantes dadas. O que a gente precisa encontrar é a distância de equilíbrio , que é o ponto onde a força entre os átomos é nula. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distância de equilíbrio. É o ponto onde a energia potencial é mínima, ou seja, a força que age sobre os átomos é zero. Matematicamente, isso significa que a derivada da energia potencial em relação à distância dudr = 0 é igual a zero:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função u(r) = u0 [ ( ar )^12 - ( ar )^6 ] em relação a dudr = u0 [ -12 ( ar )^12 cdot 1r + 6 ( ar )^6 cdot 1r ] . A função é:
dudr = u0 [ -12 a^12r^13 + 6 a^6r^7 ]
Vamos derivar termo a termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar a distância de equilíbrio -12 a^12r0^13 + 6 a^6r0^7 = 0 :
Vamos resolver essa equação para .

Passo 5

Vamos isolar os termos:
-12 a^12r0^13 = -6 a^6r0^7
Dividindo ambos os lados por -6:
2 a^12r0^13 = a^6r0^7
Multiplicando ambos os lados por 2 a^12 = a^6 r0^6 :
2 a^6 = r0^6
Dividindo ambos os lados por r0 = (2 a^6)^1/6 :
Agora, tiramos a raiz sexta de ambos os lados:
Lembrando que .

Passo 6

Finalmente, substituímos o valor de a = 3.5 times 10^-10 , m :
r0 = 2^1/6 times 3.5 times 10^-10 , m
Então,
r0 approx 1.122 times 3.5 times 10^-10 , m
Calculando r0 approx 3.927 times 10^-10 , m :

Resposta

A distância de equilíbrio é aproximadamente metros.

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