Assumindo que o campo elétrico de uma onda EM aponte na direção do eixo y, como
, com
sen(kx-
. Encontre:
a) o campo magnético associado, usando a leis de Maxwell em forma diferencial e integral;
b) o vetor de Poynting da onda EM
c) o quociente
, e porque dessa relação.
a) o campo magnético associado, usando a leis de Maxwell em forma diferencial e integral;
b) o vetor de Poynting da onda EM
c) o quociente
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética (EM) onde o campo elétrico,
, está na direção do eixo
. A expressão do campo elétrico é dada por:
Aqui,
é a amplitude do campo elétrico,
é o número de onda, e
é a frequência angular. Vamos precisar das Leis de Maxwell para resolver as partes a) e b), e entender a relação entre os campos elétrico e magnético para a parte c).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo magnético associado à onda eletromagnética usando as Leis de Maxwell. Sabemos que em uma onda EM no vácuo, os campos elétrico (
) e magnético (
) são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
A Lei de Faraday da Indução, uma das Leis de Maxwell em forma diferencial, é:
Vamos calcular o rotacional de
:
O rotacional (
) em coordenadas cartesianas é:
Como só temos componente
, os outros termos são zero. Então:
Aplicando a Lei de Faraday:
Integrando em relação ao tempo
:
Onde
é a direção perpendicular tanto para
quanto para a propagação da onda. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor de Poynting, que descreve a direção e a magnitude do fluxo de energia da onda eletromagnética. A expressão do vetor de Poynting é:
Usando os campos que encontramos:
Calculando o produto vetorial:
Considerando que
aponta na direção de propagação da onda (digamos,
), temos:
Este é o vetor de Poynting para a onda EM dada.
Passo 4
Finalmente, vamos analisar a relação entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético. A razão
nos dá a velocidade de propagação da onda eletromagnética no vácuo, que é a velocidade da luz
.
Isso ocorre porque, nas equações das ondas EM, a velocidade
está relacionada diretamente aos campos elétrico e magnético:
Essa relação mostra que, para uma dada amplitude do campo elétrico, a amplitude do campo magnético é reduzida pelo fator
, garantindo que a onda se propague corretamente no vácuo.
Resposta
a) O campo magnético associado é
.
b) O vetor de Poynting da onda EM é
.
c) A relação
ocorre porque a velocidade de propagação da onda eletromagnética no vácuo é igual à velocidade da luz, e essa relação garante a consistência das equações das ondas EM.