Assumindo que o campo elétrico de uma onda EM aponte na direção do eixo y, como E(x, t)=Ey(x, t) j, com Ey(x, t)=Em sen(kx- omega t). Encontre:
a) o campo magnético associado, usando a leis de Maxwell em forma diferencial e integral;
b) o vetor de Poynting da onda EM
c) o quociente Em / Bm=c, e porque dessa relação.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética (EM) onde o campo elétrico, E(x, t) = Ey(x, t) j = Em sin(kx - omega t) j , está na direção do eixo . A expressão do campo elétrico é dada por:
Aqui, é a amplitude do campo elétrico, é o número de onda, e é a frequência angular. Vamos precisar das Leis de Maxwell para resolver as partes a) e b), e entender a relação entre os campos elétrico e magnético para a parte c).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo magnético associado à onda eletromagnética usando as Leis de Maxwell. Sabemos que em uma onda EM no vácuo, os campos elétrico ( nabla times E = -partial Bpartial t ) e magnético ( E = Em sin(kx - omega t) j ) são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
A Lei de Faraday da Indução, uma das Leis de Maxwell em forma diferencial, é:
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) i + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) j + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) k
Vamos calcular o rotacional de nabla times E = partial Eypartial x k = Em k cos(kx - omega t) k :
Em k cos(kx - omega t) k = -partial Bpartial t
O rotacional ( B = Em komega sin(kx - omega t) l ) em coordenadas cartesianas é:
B = Emc sin(kx - omega t) l
Como só temos componente , os outros termos são zero. Então:
Aplicando a Lei de Faraday:
Integrando em relação ao tempo :
Onde é a direção perpendicular tanto para quanto para a propagação da onda. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor de Poynting, que descreve a direção e a magnitude do fluxo de energia da onda eletromagnética. A expressão do vetor de Poynting é:
S = E times B
Usando os campos que encontramos:
E = Em sin(kx - omega t) j
B = Emc sin(kx - omega t) l
Calculando o produto vetorial:
S = Em sin(kx - omega t) j times Emc sin(kx - omega t) l = Em^2c sin^2(kx - omega t) j times l
Considerando que S = Em^2c sin^2(kx - omega t) i aponta na direção de propagação da onda (digamos, ), temos:
Este é o vetor de Poynting para a onda EM dada.

Passo 4

Finalmente, vamos analisar a relação entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético. A razão c = EmBm nos dá a velocidade de propagação da onda eletromagnética no vácuo, que é a velocidade da luz .
Isso ocorre porque, nas equações das ondas EM, a velocidade está relacionada diretamente aos campos elétrico e magnético:
Essa relação mostra que, para uma dada amplitude do campo elétrico, a amplitude do campo magnético é reduzida pelo fator , garantindo que a onda se propague corretamente no vácuo.

Resposta

a) O campo magnético associado é .
b) O vetor de Poynting da onda EM é .
c) A relação ocorre porque a velocidade de propagação da onda eletromagnética no vácuo é igual à velocidade da luz, e essa relação garante a consistência das equações das ondas EM.

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