A partir das equações de Maxwell, deduzir as equações de onda para os campos elétrico e magnético. Por simplicidade pode assumir ausência de fontes.
Passo 1
O exercício pede para a gente, usando as equações de Maxwell, derivar as equações de onda para os campos elétrico (
) e magnético (
), assumindo que não tem fontes (ou seja, sem cargas ou correntes). Vamos precisar conhecer as equações de Maxwell na forma sem fontes e usar um pouco de cálculo vetorial para chegar nas equações de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell na ausência de fontes:
- Lei de Gauss para a eletricidade:
- Lei de Gauss para o magnetismo:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos focar na derivação para o campo elétrico
. A ideia é aplicar o rotacional (nabla cruz) na equação de Faraday:
Aplicando o rotacional novamente em ambos os lados:
Passo 4
Usamos a identidade vetorial:
Mas, lembrando da primeira equação de Maxwell (
), temos:
Passo 5
Agora, substituímos a equação de Ampère-Maxwell na expressão do lado direito:
Passo 6
Cancelando os sinais negativos dos dois lados, chegamos em:
Essa é a equação de onda para o campo elétrico.
Passo 7
Repetindo um processo semelhante para o campo magnético
:
Aplicamos o rotacional na equação de Ampère-Maxwell:
Aplicando o rotacional novamente:
Usando a identidade vetorial e sabendo que
:
Resposta
As equações de onda para os campos elétrico e magnético são:
Estas equações mostram que tanto
quanto
propagam-se como ondas no vácuo, com uma velocidade
, que é a velocidade da luz.