A partir das equações de Maxwell, deduzir as equações de onda para os campos elétrico e magnético. Por simplicidade pode assumir ausência de fontes.

Passo 1

O exercício pede para a gente, usando as equações de Maxwell, derivar as equações de onda para os campos elétrico ( ) e magnético ( ), assumindo que não tem fontes (ou seja, sem cargas ou correntes). Vamos precisar conhecer as equações de Maxwell na forma sem fontes e usar um pouco de cálculo vetorial para chegar nas equações de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell na ausência de fontes:
  1. Lei de Gauss para a eletricidade:
  1. Lei de Gauss para o magnetismo:
  1. Lei de Faraday da indução:
  1. Lei de Ampère-Maxwell:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos focar na derivação para o campo elétrico . A ideia é aplicar o rotacional (nabla cruz) na equação de Faraday:
Aplicando o rotacional novamente em ambos os lados:

Passo 4

Usamos a identidade vetorial:
Mas, lembrando da primeira equação de Maxwell ( ), temos:

Passo 5

Agora, substituímos a equação de Ampère-Maxwell na expressão do lado direito:

Passo 6

Cancelando os sinais negativos dos dois lados, chegamos em:
Essa é a equação de onda para o campo elétrico.

Passo 7

Repetindo um processo semelhante para o campo magnético :
Aplicamos o rotacional na equação de Ampère-Maxwell:
Aplicando o rotacional novamente:
Usando a identidade vetorial e sabendo que :

Resposta

As equações de onda para os campos elétrico e magnético são:
Estas equações mostram que tanto quanto propagam-se como ondas no vácuo, com uma velocidade , que é a velocidade da luz.

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