A partir das equações de Maxwell, deduzir as equações de onda para os campos elétrico e magnético. Por simplicidade pode assumir ausência de fontes.

Passo 1

O exercício pede para a gente, usando as equações de Maxwell, derivar as equações de onda para os campos elétrico ( ) e magnético ( ), assumindo que não tem fontes (ou seja, sem cargas ou correntes). Vamos precisar conhecer as equações de Maxwell na forma sem fontes e usar um pouco de cálculo vetorial para chegar nas equações de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell na ausência de fontes:
  1. Lei de Gauss para a eletricidade:
nabla cdot E = 0
  1. Lei de Gauss para o magnetismo:
nabla cdot B = 0
  1. Lei de Faraday da indução:
nabla times E = -partial Bpartial t
  1. Lei de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos focar na derivação para o campo elétrico nabla times E = -partial Bpartial t . A ideia é aplicar o rotacional (nabla cruz) na equação de Faraday:
nabla times (nabla times E) = -nabla times partial Bpartial t
Aplicando o rotacional novamente em ambos os lados:

Passo 4

Usamos a identidade vetorial:
nabla times (nabla times E) = nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
Mas, lembrando da primeira equação de Maxwell ( nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E ), temos:

Passo 5

Agora, substituímos a equação de Ampère-Maxwell na expressão do lado direito:
-nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B) = -partialpartial t ( mu0 epsilon0 partial Epartial t ) = -mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2

Passo 6

Cancelando os sinais negativos dos dois lados, chegamos em:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Essa é a equação de onda para o campo elétrico.

Passo 7

Repetindo um processo semelhante para o campo magnético nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t :
Aplicamos o rotacional na equação de Ampère-Maxwell:
nabla times (nabla times B) = mu0 epsilon0 nabla times partial Epartial t = mu0 epsilon0 partialpartial t (nabla times E) = -mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2
Aplicando o rotacional novamente:
nabla^2 B = mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2
Usando a identidade vetorial e sabendo que :

Resposta

As equações de onda para os campos elétrico e magnético são:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
nabla^2 B = mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2
Estas equações mostram que tanto quanto propagam-se como ondas no vácuo, com uma velocidade , que é a velocidade da luz.

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