Usando as equações de Maxwell em meios materiais, deduzir uma equação diferencial para os campos elétrico e magnético, cujas soluções descrevem uma onda eletromagnética.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar as equações de Maxwell em meios materiais para deduzir uma equação diferencial que descreve ondas eletromagnéticas. Então, estamos trabalhando com eletromagnetismo e precisamos saber das equações de Maxwell e como elas se aplicam em materiais. Vamos precisar das equações de Maxwell em meios materiais e entender como combiná-las para chegar à equação das ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell em meios materiais. Essas equações são fundamentais para descrever como os campos elétrico (
) e magnético (
) se comportam em materiais. Elas são:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:Onde
é o deslocamento elétrico e é a densidade de carga. -
Lei de Gauss para o campo magnético:
-
Lei de Faraday:
-
Lei de Ampère-Maxwell:Onde
é o campo magnético auxiliar e é a densidade de corrente.
Passo 3
Agora, consideramos que estamos em um meio material sem cargas livres (
) e sem correntes livres (
). Além disso, assumimos que o meio é linear, isotrópico e homogêneo. Isso significa que podemos relacionar
e
por:
E
e
por:
Onde
é a permissividade elétrica e
é a permeabilidade magnética do meio.
Passo 4
Vamos trabalhar com a Lei de Faraday:
Substituindo
por
:
Passo 5
Agora, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell:
Substituindo
por
:
Passo 6
Vamos combinar as duas equações que obtivemos. Primeiro, da Lei de Faraday:
E da Lei de Ampère-Maxwell:
Agora, vamos tirar o rotacional da primeira equação:
Passo 7
Usando a identidade vetorial:
E considerando que em meio sem carga
, temos:
Substituindo
da Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 8
Simplificando a equação:
Essa é a equação diferencial para o campo elétrico
que descreve uma onda eletromagnética.
Passo 9
Fazendo o mesmo procedimento para o campo magnético
, obtemos uma equação similar:
Isso mostra que tanto os campos elétrico quanto magnético se propagam como ondas com a mesma velocidade.
Resposta
A equação diferencial que descreve as ondas eletromagnéticas nos campos elétrico e magnético é:
Essas equações mostram que os campos
e
se propagam como ondas com velocidade
.
Exercícios relacionados
Uma estação de rádio
transmite isotrópicamente com uma potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de
de comprimento está a
do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as extremidades da antena receptora.
Assumindo que o campo elétrico de uma onda EM aponte na direção do eixo y, como
, com
sen(kx-
. Encontre:
a) o campo magnético associado, usando a leis de Maxwell em forma diferencial e integral;
b) o vetor de Poynting da onda EM
c) o quociente , e porque dessa relação.
a) o campo magnético associado, usando a leis de Maxwell em forma diferencial e integral;
b) o vetor de Poynting da onda EM
c) o quociente
Mostre que as funções
são soluções da equação de onda eletromagnética
Sejam
e
duas medidas quaisquer.
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
Responda obedecendo as regras de operações com algarismos significativos:
Obs: Para garantir que a correção automática funcione não use notação científica!