Usando as equações de Maxwell em meios materiais, deduzir uma equação diferencial para os campos elétrico e magnético, cujas soluções descrevem uma onda eletromagnética.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar as equações de Maxwell em meios materiais para deduzir uma equação diferencial que descreve ondas eletromagnéticas. Então, estamos trabalhando com eletromagnetismo e precisamos saber das equações de Maxwell e como elas se aplicam em materiais. Vamos precisar das equações de Maxwell em meios materiais e entender como combiná-las para chegar à equação das ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell em meios materiais. Essas equações são fundamentais para descrever como os campos elétrico ( nabla cdot D = rho ) e magnético ( nabla cdot B = 0 ) se comportam em materiais. Elas são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    nabla times E = -partial Bpartial t
    Onde nabla times H = J + partial Dpartial t é o deslocamento elétrico e é a densidade de carga.
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
  3. Lei de Faraday:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    Onde é o campo magnético auxiliar e é a densidade de corrente.

Passo 3

Agora, consideramos que estamos em um meio material sem cargas livres ( D = varepsilon E ) e sem correntes livres ( B = mu H ). Além disso, assumimos que o meio é linear, isotrópico e homogêneo. Isso significa que podemos relacionar e por:
E e por:
Onde é a permissividade elétrica e é a permeabilidade magnética do meio.

Passo 4

Vamos trabalhar com a Lei de Faraday:
nabla times E = -partial Bpartial t
Substituindo nabla times E = -mu partial Hpartial t por :

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell:
nabla times H = partial Dpartial t
Substituindo nabla times H = varepsilon partial Epartial t por :

Passo 6

Vamos combinar as duas equações que obtivemos. Primeiro, da Lei de Faraday:
nabla times E = -mu partial Hpartial t
E da Lei de Ampère-Maxwell:
nabla times H = varepsilon partial Epartial t
Agora, vamos tirar o rotacional da primeira equação:
nabla times (nabla times E) = -mu nabla times partial Hpartial t

Passo 7

Usando a identidade vetorial:
nabla times (nabla times E) = nabla(nabla cdot E) - nabla^2 E
E considerando que em meio sem carga -nabla^2 E = -mu partialpartial t (nabla times H) , temos:
-nabla^2 E = -mu varepsilon partial^2 Epartial t^2
Substituindo da Lei de Ampère-Maxwell:

Passo 8

Simplificando a equação:
nabla^2 E = mu varepsilon partial^2 Epartial t^2
Essa é a equação diferencial para o campo elétrico que descreve uma onda eletromagnética.

Passo 9

Fazendo o mesmo procedimento para o campo magnético nabla^2 B = mu varepsilon partial^2 Bpartial t^2 , obtemos uma equação similar:
Isso mostra que tanto os campos elétrico quanto magnético se propagam como ondas com a mesma velocidade.

Resposta

A equação diferencial que descreve as ondas eletromagnéticas nos campos elétrico e magnético é:
nabla^2 E = mu varepsilon partial^2 Epartial t^2 e nabla^2 B = mu varepsilon partial^2 Bpartial t^2
Essas equações mostram que os campos e se propagam como ondas com velocidade .

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