Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial lim n infty(1+1n)^n=e, calcular os seguintes limites:
b) lim n infty(1+1n)^3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite limn infty(1+1n)^3n. Esse problema está ligado ao estudo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos usar o limite fundamental exponencial que já conhecemos: lim n infty(1+1n)^n=e. Vamos ver como aplicar esse conceito aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão que precisamos calcular: (1+1n)^3n. Note que a potência aqui é 3n, que é três vezes o n que aparece no denominador. Isso nos dá uma pista de como relacionar com o limite fundamental que conhecemos.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão (1+1n)^3n de uma maneira que facilite o uso do limite fundamental. Podemos fazer isso dividindo a potência:
(1+1n)^3n = [(1+1n)^n]^3
Aqui, estamos elevando ao cubo a expressão (1+1n)^n.

Passo 4

Agora, sabemos pelo limite fundamental que:
lim n infty(1+1n)^n = e
Então, substituindo isso na nossa expressão reescrita:
limn infty [(1+1n)^n]^3 = e^3

Passo 5

Portanto, o limite que queremos calcular é simplesmente e elevado à terceira potência.

Resposta

lim n infty(1+1n)^3n = e^3

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