Faça o que se pede.
- Escreva a série de potências da função
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida como
, que está definida para todos os números reais exceto
. A tarefa aqui é escrever a série de potências dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta muito útil para representar funções como séries de termos com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É basicamente uma soma infinita de termos que envolvem potências de
. No caso da série geométrica, ela tem a forma:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a nossa função
. Essa função se parece muito com a forma da soma de uma série geométrica. Se compararmos com a fórmula geral da série geométrica, vemos que:
Aqui,
e
.
Passo 4
É importante notar que essa série geométrica converge (ou seja, soma a um valor finito) quando a razão
está dentro de um certo intervalo. No caso da série
, a condição de convergência é:
Isso significa que a série só representa a função
quando
está entre -1 e 1.
Passo 5
Então, juntando tudo, a série de potências da função
é:
válida para
.
Resposta
A série de potências da função
é:
válida para
.
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Verificar se as sequências
abaixo convergem
a)
a)
Faça o que se pede.
5. Determine a série de potências de indicando o raio e a região de convergência.
5. Determine a série de potências de
Verificar se as sequências
abaixo convergem
c)
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Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial
, calcular os seguintes limites:
b)
b)