Faça o que se pede.
  1. Escreva a série de potências da função f: R-{1} -> R, f(x) = 1/(1-x).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida como , que está definida para todos os números reais exceto . A tarefa aqui é escrever a série de potências dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta muito útil para representar funções como séries de termos com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É basicamente uma soma infinita de termos que envolvem potências de . No caso da série geométrica, ela tem a forma:
onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a nossa função . Essa função se parece muito com a forma da soma de uma série geométrica. Se compararmos com a fórmula geral da série geométrica, vemos que:
Aqui, e .

Passo 4

É importante notar que essa série geométrica converge (ou seja, soma a um valor finito) quando a razão está dentro de um certo intervalo. No caso da série , a condição de convergência é:
Isso significa que a série só representa a função quando está entre -1 e 1.

Passo 5

Então, juntando tudo, a série de potências da função é:
válida para .

Resposta

A série de potências da função é:
válida para .

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Faça o que se pede.
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Verificar se as sequências x_n abaixo convergem
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Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial lim n infty(1+1n)^n=e, calcular os seguintes limites:
b) lim n infty(1+1n)^3 n