Assumindo que nabla f = F, com P(x, y, z) = -f(x, y, z) é chamada energia potencial; mostre que o trabalho é menos a variação da energia potencial.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x, y, z) cuja derivada em cada direção é dada por . A energia potencial é definida como . O objetivo é mostrar que o trabalho realizado por essa força F é igual a menos a variação da energia potencial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, trabalho e energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f, denotado por nabla f, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção. Neste caso, nos diz que a força F é conservativa, ou seja, pode ser derivada de uma energia potencial.

Passo 3

A energia potencial P está definida como . Isso significa que . Vamos substituir isso na expressão do gradiente:
Portanto, a força F pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, vamos lembrar que o trabalho W feito por uma força ao mover um objeto de um ponto A para um ponto B é dado pela integral da força ao longo do trajeto C:
Substituindo na expressão do trabalho:

Passo 5

A integral representa a variação de P entre os pontos A e B. Isso porque a integral do gradiente de uma função ao longo de um caminho é igual à diferença dos valores da função nos pontos finais:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Isso mostra que o trabalho realizado pela força F é igual à diferença na energia potencial entre os pontos inicial e final.

Resposta

O trabalho realizado pela força F é igual a menos a variação da energia potencial, ou seja:

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