Assumindo que
, com
é chamada energia potencial; mostre que o trabalho é menos a variação da energia potencial.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
cuja derivada em cada direção é dada por
. A energia potencial é definida como
. O objetivo é mostrar que o trabalho realizado por essa força
é igual a menos a variação da energia potencial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, trabalho e energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção. Neste caso,
nos diz que a força
é conservativa, ou seja, pode ser derivada de uma energia potencial.
Passo 3
A energia potencial
está definida como
. Isso significa que
. Vamos substituir isso na expressão do gradiente:
Portanto, a força
pode ser escrita como:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que o trabalho
feito por uma força ao mover um objeto de um ponto
para um ponto
é dado pela integral da força ao longo do trajeto
:
Substituindo
na expressão do trabalho:
Passo 5
A integral
representa a variação de
entre os pontos
e
. Isso porque a integral do gradiente de uma função ao longo de um caminho é igual à diferença dos valores da função nos pontos finais:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Isso mostra que o trabalho realizado pela força
é igual à diferença na energia potencial entre os pontos inicial e final.
Resposta
O trabalho realizado pela força
é igual a menos a variação da energia potencial, ou seja:
Exercícios relacionados
Resolva
.
Os itens (a) e (b) violam o Teorema 6, do Capítulo 16 do livro do James Stewart? Explique.
Use a Regra da Cadeia para calcular
ou
no ponto indicado
Resolva
.