Assumindo a quantização do momento angular,
, e também assumindo órbitas circulares para o elétron no átomo de hidrogênio, determine o espectro de energias do átomo de hidrogênio. Determine o raio da órbita no estado fundamental. Identifique quais transições estão no ultra-violeta e quais estão no visível.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar o espectro de energias do átomo de hidrogênio, o raio da órbita no estado fundamental e identificar quais transições estão no ultra-violeta e quais estão no visível. Para isso, vamos usar conceitos de quantização do momento angular e órbitas circulares do elétron no átomo de hidrogênio. Precisaremos aplicar fórmulas da mecânica quântica e da física atômica para encontrar as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a quantização do momento angular é dada por:
onde:
-
é o momento angular, -
é um número inteiro positivo (número quântico principal), -
é a constante de Planck reduzida ( ).
Passo 3
Em órbitas circulares, a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática entre o próton e o elétron. A força eletrostática é dada por:
onde:
-
é a carga do elétron, -
é a permissividade do vácuo, -
é o raio da órbita.
A força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular é:
onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron.
Igualando as duas forças:
Passo 4
Agora, vamos usar a quantização do momento angular
. Podemos resolver para a velocidade
:
Substituindo
na equação da força:
Simplificando:
Cancelando
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Para encontrar o espectro de energias, precisamos calcular a energia total
do elétron na órbita, que é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética é:
E a energia potencial eletrostática é:
Usando a relação da força centrípeta, sabemos que
. Então:
Substituindo
da Passo 4:
Simplificando:
Essa expressão nos dá o espectro de energias do átomo de hidrogênio, que depende do número quântico principal
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o raio da órbita no estado fundamental (
):
Usando os valores conhecidos:
Calculando:
Esse é o raio da órbita no estado fundamental, também conhecido como raio de Bohr.
Passo 7
Por fim, vamos identificar as transições de nível de energia que correspondem à emissão de luz no ultra-violeta e no visível. A energia da luz emitida quando um elétron transita de um nível
para um nível
é dada por:
A energia dos fótons está relacionada ao comprimento de onda
pela relação:
onde
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz.
-
Transições no Visível: Geralmente, envolvem quedas de energia correspondentes a fótons com comprimentos de onda entre aproximadamente 400 nm e 700 nm.
-
Transições no Ultra-Violeta: Envolvem quedas de energia maiores, com comprimentos de onda menores que 400 nm.
Por exemplo, a transição do primeiro nível (
) para o primeiro nível (
) emite luz ultravioleta, enquanto transições como do terceiro para o segundo nível emitem luz visível.
Resposta
O espectro de energias do átomo de hidrogênio é dado por:
O raio da órbita no estado fundamental (
) é aproximadamente:
As transições de energia que resultam em emissão de luz estão no ultra-violeta quando envolvem quedas de energia maiores (como
para
) e no visível quando envolvem quedas de energia menores (como
para
).