Assumindo a quantização do momento angular, L=n hbar, e também assumindo órbitas circulares para o elétron no átomo de hidrogênio, determine o espectro de energias do átomo de hidrogênio. Determine o raio da órbita no estado fundamental. Identifique quais transições estão no ultra-violeta e quais estão no visível.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar o espectro de energias do átomo de hidrogênio, o raio da órbita no estado fundamental e identificar quais transições estão no ultra-violeta e quais estão no visível. Para isso, vamos usar conceitos de quantização do momento angular e órbitas circulares do elétron no átomo de hidrogênio. Precisaremos aplicar fórmulas da mecânica quântica e da física atômica para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a quantização do momento angular é dada por:
L = n hbar
onde:
  • é o momento angular,
  • é um número inteiro positivo (número quântico principal),
  • é a constante de Planck reduzida ( ).

Passo 3

Em órbitas circulares, a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática entre o próton e o elétron. A força eletrostática é dada por:
F = e^24piepsilon0 r^2
onde:
  • Fc = m v^2r é a carga do elétron,
  • m v^2r = e^24piepsilon0 r^2 é a permissividade do vácuo,
  • é o raio da órbita.
A força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular é:
onde:
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade do elétron.
Igualando as duas forças:

Passo 4

Agora, vamos usar a quantização do momento angular v = n hbarm r . Podemos resolver para a velocidade m ( n hbarm r )^2r = e^24piepsilon0 r^2 :
n^2 hbar^2m r^3 = e^24piepsilon0 r^2
Substituindo n^2 hbar^2m r = e^24piepsilon0 na equação da força:
r = 4piepsilon0 n^2 hbar^2m e^2
Simplificando:
Cancelando :
Resolvendo para :

Passo 5

Para encontrar o espectro de energias, precisamos calcular a energia total E = K + U do elétron na órbita, que é a soma da energia cinética K = 12 m v^2 e da energia potencial U = -e^24piepsilon0 r :
E = -12 e^24piepsilon0 r
A energia cinética é:
E = -12 e^24piepsilon0 cdot m e^24piepsilon0 n^2 hbar^2
E a energia potencial eletrostática é:
E = -m e^432 pi^2 epsilon0^2 hbar^2 cdot 1n^2
Usando a relação da força centrípeta, sabemos que . Então:
Substituindo da Passo 4:
Simplificando:
Essa expressão nos dá o espectro de energias do átomo de hidrogênio, que depende do número quântico principal .

Passo 6

Agora, vamos calcular o raio da órbita no estado fundamental ( r1 = 4piepsilon0 hbar^2m e^2 ):
r1 approx 5.29 times 10^-11 , m
Usando os valores conhecidos:
Calculando:
Esse é o raio da órbita no estado fundamental, também conhecido como raio de Bohr.

Passo 7

Por fim, vamos identificar as transições de nível de energia que correspondem à emissão de luz no ultra-violeta e no visível. A energia da luz emitida quando um elétron transita de um nível De para um nível De é dada por:
A energia dos fótons está relacionada ao comprimento de onda pela relação:
onde é a constante de Planck e é a velocidade da luz.
  • Transições no Visível: Geralmente, envolvem quedas de energia correspondentes a fótons com comprimentos de onda entre aproximadamente 400 nm e 700 nm.
  • Transições no Ultra-Violeta: Envolvem quedas de energia maiores, com comprimentos de onda menores que 400 nm.
Por exemplo, a transição do primeiro nível ( ) para o primeiro nível ( ) emite luz ultravioleta, enquanto transições como do terceiro para o segundo nível emitem luz visível.

Resposta

O espectro de energias do átomo de hidrogênio é dado por:
En = -m e^432 pi^2 epsilon0^2 hbar^2 cdot 1n^2
O raio da órbita no estado fundamental ( r1 approx 5.29 times 10^-11 , m ) é aproximadamente:
As transições de energia que resultam em emissão de luz estão no ultra-violeta quando envolvem quedas de energia maiores (como para ) e no visível quando envolvem quedas de energia menores (como para ).

Exercícios relacionados