A peça de uma máquina consiste de uma barra fina e uniforme de
, com
comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de
e comprimento de
. A barra mais longa possui uma bola pequena, porém densa de
em uma das extremidades (Figura 8.40). Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire
no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma peça de máquina composta por duas barras e uma bola:
- Barra horizontal: massa de
, comprimento de . - Barra vertical: massa de
, comprimento de . - Bola: massa de
, fixada em uma das extremidades da barra horizontal.
A barra vertical está presa a uma dobradiça e gira
no sentido anti-horário até que toda a peça fique horizontal. Precisamos encontrar a distância percorrida horizontal e verticalmente pelo centro de massa dessa peça durante essa rotação.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de centro de massa e movimentos de rotação. Vamos calcular a posição inicial e final do centro de massa e, a partir daí, determinar as distâncias percorridas nas direções horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a posição do centro de massa da peça antes da rotação (posição inicial). Precisamos considerar cada parte da peça: as duas barras e a bola.
Vamos definir o ponto de rotação (a dobradiça) como a origem do nosso sistema de coordenadas, onde
e
.
- Barra vertical: centro de massa está no meio da barra, então a uma distância de
acima da dobradiça. - Barra horizontal: centro de massa está no meio da barra, a
da dobradiça na horizontal. - Bola: está a
na horizontal a partir da dobradiça.
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa de cada parte na posição inicial:
- Barra vertical:
, massa . - Barra horizontal:
, massa . - Bola:
, massa .
Passo 3
Agora, vamos calcular o centro de massa total na posição inicial. A fórmula do centro de massa para um sistema de partículas é:
Onde
é a massa de cada parte e
é a posição de cada parte.
Calculando as coordenadas
e
:
Então, o centro de massa inicial está em
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a posição final do sistema após a rotação de
anti-horário. Nesse caso, a barra vertical passa a ficar na horizontal, e a barra que já era horizontal permanece na horizontal, formando uma única barra com a bola no final.
As novas posições das partes serão:
- Barra anteriormente vertical (agora horizontal): comprimento de
, o centro de massa estará a da dobradiça na horizontal. - Barra horizontal original: permanece com seu centro de massa a
da dobradiça na horizontal. - Bola: agora está a
na horizontal mais o comprimento da barra que estava vertical, totalizando na horizontal.
As coordenadas pós-rotação serão:
- Barra anteriormente vertical:
, massa . - Barra horizontal original:
, massa . - Bola:
, massa .
Passo 5
Vamos calcular o centro de massa na posição final usando a mesma fórmula:
Então, o centro de massa final está em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar as distâncias percorridas pelo centro de massa nas direções horizontal e vertical.
A distância horizontal percorrida é a diferença entre as posições finais e iniciais na direção
:
A distância vertical percorrida é a diferença entre as posições finais e iniciais na direção
:
O sinal negativo indica que o movimento na direção vertical foi para baixo, mas como a questão pede a distância percorrida, consideramos o valor absoluto.
Resposta
O centro de massa da peça percorre
na direção horizontal e
na direção vertical durante a rotação.