A peça de uma máquina consiste de uma barra fina e uniforme de 4,0 kg, com 1,50 m de comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de 3,0 kg e comprimento de 1,80 m. A barra mais longa possui uma bola pequena, porém densa de 2,0 kg em uma das extremidades (Figura 8.40). Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire 90^circ no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma peça de máquina composta por duas barras e uma bola:
  • Barra horizontal: massa de , comprimento de .
  • Barra vertical: massa de , comprimento de .
  • Bola: massa de , fixada em uma das extremidades da barra horizontal.
A barra vertical está presa a uma dobradiça e gira no sentido anti-horário até que toda a peça fique horizontal. Precisamos encontrar a distância percorrida horizontal e verticalmente pelo centro de massa dessa peça durante essa rotação.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de centro de massa e movimentos de rotação. Vamos calcular a posição inicial e final do centro de massa e, a partir daí, determinar as distâncias percorridas nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição do centro de massa da peça antes da rotação (posição inicial). Precisamos considerar cada parte da peça: as duas barras e a bola.
Vamos definir o ponto de rotação (a dobradiça) como a origem do nosso sistema de coordenadas, onde e .
  • Barra vertical: centro de massa está no meio da barra, então a uma distância de acima da dobradiça.
  • Barra horizontal: centro de massa está no meio da barra, a da dobradiça na horizontal.
  • Bola: está a na horizontal a partir da dobradiça.
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa de cada parte na posição inicial:
  • Barra vertical: , massa .
  • Barra horizontal: , massa .
  • Bola: , massa .

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de massa total na posição inicial. A fórmula do centro de massa para um sistema de partículas é:
RCM = sum mi risum mi
Onde xCM,inicial = (4,0 times 0,75) + (2,0 times 1,50) + (3,0 times 0)4,0 + 2,0 + 3,0 = 3,0 + 3,0 + 09,0 = 6,09,0 = 0,6667 , m é a massa de cada parte e yCM,inicial = (4,0 times 0) + (2,0 times 0) + (3,0 times 0,90)4,0 + 2,0 + 3,0 = 0 + 0 + 2,79,0 = 2,79,0 = 0,3 , m é a posição de cada parte.
Calculando as coordenadas e :
Então, o centro de massa inicial está em .

Passo 4

Agora, vamos considerar a posição final do sistema após a rotação de anti-horário. Nesse caso, a barra vertical passa a ficar na horizontal, e a barra que já era horizontal permanece na horizontal, formando uma única barra com a bola no final.
As novas posições das partes serão:
  • Barra anteriormente vertical (agora horizontal): comprimento de , o centro de massa estará a da dobradiça na horizontal.
  • Barra horizontal original: permanece com seu centro de massa a da dobradiça na horizontal.
  • Bola: agora está a na horizontal mais o comprimento da barra que estava vertical, totalizando na horizontal.
As coordenadas pós-rotação serão:
  • Barra anteriormente vertical: , massa .
  • Barra horizontal original: , massa .
  • Bola: , massa .

Passo 5

Vamos calcular o centro de massa na posição final usando a mesma fórmula:
xCM,final = (4,0 times 0,75) + (2,0 times 3,30) + (3,0 times 1,80)4,0 + 2,0 + 3,0 = 3,0 + 6,6 + 5,49,0 = 15,09,0 = 1,6667 , m
yCM,final = (4,0 times 0) + (2,0 times 0) + (3,0 times 0)4,0 + 2,0 + 3,0 = 0 , m
Então, o centro de massa final está em .

Passo 6

Agora, vamos determinar as distâncias percorridas pelo centro de massa nas direções horizontal e vertical.
A distância horizontal percorrida é a diferença entre as posições finais e iniciais na direção De:
De
A distância vertical percorrida é a diferença entre as posições finais e iniciais na direção :
O sinal negativo indica que o movimento na direção vertical foi para baixo, mas como a questão pede a distância percorrida, consideramos o valor absoluto.

Resposta

O centro de massa da peça percorre na direção horizontal e na direção vertical durante a rotação.

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