A peça de uma máquina consiste de uma barra fina e uniforme de , com comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de e comprimento de . A barra mais longa possui uma bola pequena, porém densa de em uma das extremidades (Figura 8.40). Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma peça de máquina composta por duas barras e uma bola:
  • Barra horizontal: massa de , comprimento de .
  • Barra vertical: massa de , comprimento de .
  • Bola: massa de , fixada em uma das extremidades da barra horizontal.
A barra vertical está presa a uma dobradiça e gira no sentido anti-horário até que toda a peça fique horizontal. Precisamos encontrar a distância percorrida horizontal e verticalmente pelo centro de massa dessa peça durante essa rotação.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de centro de massa e movimentos de rotação. Vamos calcular a posição inicial e final do centro de massa e, a partir daí, determinar as distâncias percorridas nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição do centro de massa da peça antes da rotação (posição inicial). Precisamos considerar cada parte da peça: as duas barras e a bola.
Vamos definir o ponto de rotação (a dobradiça) como a origem do nosso sistema de coordenadas, onde e .
  • Barra vertical: centro de massa está no meio da barra, então a uma distância de acima da dobradiça.
  • Barra horizontal: centro de massa está no meio da barra, a da dobradiça na horizontal.
  • Bola: está a na horizontal a partir da dobradiça.
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa de cada parte na posição inicial:
  • Barra vertical: , massa .
  • Barra horizontal: , massa .
  • Bola: , massa .

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de massa total na posição inicial. A fórmula do centro de massa para um sistema de partículas é:
Onde é a massa de cada parte e é a posição de cada parte.
Calculando as coordenadas e :
Então, o centro de massa inicial está em .

Passo 4

Agora, vamos considerar a posição final do sistema após a rotação de anti-horário. Nesse caso, a barra vertical passa a ficar na horizontal, e a barra que já era horizontal permanece na horizontal, formando uma única barra com a bola no final.
As novas posições das partes serão:
  • Barra anteriormente vertical (agora horizontal): comprimento de , o centro de massa estará a da dobradiça na horizontal.
  • Barra horizontal original: permanece com seu centro de massa a da dobradiça na horizontal.
  • Bola: agora está a na horizontal mais o comprimento da barra que estava vertical, totalizando na horizontal.
As coordenadas pós-rotação serão:
  • Barra anteriormente vertical: , massa .
  • Barra horizontal original: , massa .
  • Bola: , massa .

Passo 5

Vamos calcular o centro de massa na posição final usando a mesma fórmula:
Então, o centro de massa final está em .

Passo 6

Agora, vamos determinar as distâncias percorridas pelo centro de massa nas direções horizontal e vertical.
A distância horizontal percorrida é a diferença entre as posições finais e iniciais na direção :
A distância vertical percorrida é a diferença entre as posições finais e iniciais na direção :
O sinal negativo indica que o movimento na direção vertical foi para baixo, mas como a questão pede a distância percorrida, consideramos o valor absoluto.

Resposta

O centro de massa da peça percorre na direção horizontal e na direção vertical durante a rotação.

Exercícios relacionados

Um bloco inicialmente em repouso desce uma rampa sem atrito, atingindo uma velocidade no final. Para alcançar uma velocidade no final, quantas vezes mais alta deverá ser uma nova rampa?
Um bloco de se move com sobre uma superfície horizontal sem atrito, dirigindo-se contra uma mola cuja constante de forca e dada por que possui uma de suas extremidades presa a uma parede (Figura ao lado). A massa da mola e desprezível. (a) Calcule a distância máxima que a mola pode ser comprimida. (b) Se a distância máxima que a mola pudesse ser
comprimida fosse de , qual deveria ser o valor máximo de ?
Um astronauta de 120 kg faz um passeio pelo espaço, ligado a nave por uma corda de 180 m de comprimento, completamente estendida. Sem querer, ele aciona o seu aparelho de propulsão, que lhe dá uma velocidade tangencial de . Para retornar à nave, ele puxa a corda lentamente a uma velocidade constante. Qual será sua velocidade tangencial?
Você está de pé sobre uma plataforma sem atrito, que gira com uma rapidez angular de . De onde veio este aumento de energia?