Um bloco inicialmente em repouso desce uma rampa sem atrito, atingindo uma velocidade v no final. Para alcançar uma velocidade 2 v no final, quantas vezes mais alta deverá ser uma nova rampa?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um bloco que desce uma rampa sem atrito e atinge uma velocidade no final. Queremos descobrir quantas vezes mais alta deve ser uma nova rampa para que o bloco atinja uma velocidade no final. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Potencial e Energia Cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia envolvida no movimento do bloco. Quando o bloco está no topo da rampa, ele possui energia potencial gravitacional, que depende da altura da rampa. Ao descer, essa energia se transforma em energia cinética, que está relacionada à velocidade do bloco.

Passo 3

A energia potencial gravitacional ( Ep = m cdot g cdot h ) é dada pela fórmula:
Ec = 12 m v^2
onde:
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração devido à gravidade,
  • é a altura da rampa.
A energia cinética ( ) é dada por:
Como não há atrito, toda a energia potencial se transforma em energia cinética no final da rampa.

Passo 4

Igualando as duas energias:
m cdot g cdot h = 12 m v^2
Podemos simplificar eliminando a massa g cdot h = 12 v^2 dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre a velocidade e a altura .

Passo 5

Queremos que a velocidade final seja g cdot h' = 12 (2v)^2 . Vamos chamar a nova altura de g cdot h' = 12 cdot 4v^2 . Aplicando a mesma equação:
g cdot h' = 2v^2

Passo 6

Agora, comparando com a primeira equação h' = 4h , podemos ver que:
Portanto, a nova rampa precisa ser duas vezes mais alta que a original para que o bloco atinja a velocidade .

Resposta

A nova rampa deve ser duas vezes mais alta que a original.

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