Um bloco inicialmente em repouso desce uma rampa sem atrito, atingindo uma velocidade
no final. Para alcançar uma velocidade
no final, quantas vezes mais alta deverá ser uma nova rampa?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um bloco que desce uma rampa sem atrito e atinge uma velocidade
no final. Queremos descobrir quantas vezes mais alta deve ser uma nova rampa para que o bloco atinja uma velocidade
no final. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Potencial e Energia Cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia envolvida no movimento do bloco. Quando o bloco está no topo da rampa, ele possui energia potencial gravitacional, que depende da altura da rampa. Ao descer, essa energia se transforma em energia cinética, que está relacionada à velocidade do bloco.
Passo 3
A energia potencial gravitacional (
) é dada pela fórmula:
onde:
-
é a massa do bloco, -
é a aceleração devido à gravidade, -
é a altura da rampa.
A energia cinética (
) é dada por:
Como não há atrito, toda a energia potencial se transforma em energia cinética no final da rampa.
Passo 4
Igualando as duas energias:
Podemos simplificar eliminando a massa
dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre a velocidade
e a altura
.
Passo 5
Queremos que a velocidade final seja
. Vamos chamar a nova altura de
. Aplicando a mesma equação:
Passo 6
Agora, comparando com a primeira equação
, podemos ver que:
Portanto, a nova rampa precisa ser duas vezes mais alta que a original para que o bloco atinja a velocidade
.
Resposta
A nova rampa deve ser duas vezes mais alta que a original.