Um astronauta aqui na terra, onde a aceleração local é de 9,8m/s², está parado no alto de uma montanha de 125m de altura e então possui uma energia potencial u t. Este mesmo astronauta vai para Marte, onde a aceleração gravitacional é de 3,72m/s², e se posiciona em uma montanha que também lhe proporciona uma energia potencial gravitacional u m = u t. Qual é a correta altitude da montanha em Marte?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um astronauta que está parado no topo de uma montanha na Terra, com uma altura de 125 metros. Sabemos que a aceleração da gravidade na Terra é de
. A energia potencial gravitacional que ele possui nessa posição é
.
Agora, esse mesmo astronauta vai para Marte, onde a aceleração da gravidade é menor, de
. Ele se posiciona em uma montanha em Marte que também lhe proporciona uma energia potencial gravitacional
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a altura dessa montanha em Marte para que a energia potencial seja a mesma que na Terra.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da energia potencial gravitacional, que é fundamental na matéria de física, mais especificamente em mecânica clássica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia potencial gravitacional:
Onde:
-
é a energia potencial, -
é a massa do objeto (no caso, o astronauta), -
é a aceleração da gravidade do planeta, -
é a altura da posição elevada.
Passo 3
Na Terra, a energia potencial
é dada por:
Substituindo os valores que conhecemos:
Passo 4
Em Marte, queremos que a energia potencial
seja igual à da Terra, ou seja,
. Então:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
, já que a massa do astronauta é a mesma nos dois casos:
Agora, isolamos
, que é a altura que queremos encontrar:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos calcular:
Resposta
A altura da montanha em Marte deve ser aproximadamente 329,3 metros para que a energia potencial gravitacional do astronauta seja igual à que ele possui na Terra.