Um astronauta aqui na terra, onde a aceleração local é de 9,8m/s², está parado no alto de uma montanha de 125m de altura e então possui uma energia potencial u t. Este mesmo astronauta vai para Marte, onde a aceleração gravitacional é de 3,72m/s², e se posiciona em uma montanha que também lhe proporciona uma energia potencial gravitacional u m = u t. Qual é a correta altitude da montanha em Marte?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um astronauta que está parado no topo de uma montanha na Terra, com uma altura de 125 metros. Sabemos que a aceleração da gravidade na Terra é de 9,8 , m/s^2. A energia potencial gravitacional que ele possui nessa posição é Ut.
Agora, esse mesmo astronauta vai para Marte, onde a aceleração da gravidade é menor, de 3,72 , m/s^2. Ele se posiciona em uma montanha em Marte que também lhe proporciona uma energia potencial gravitacional Um = Ut. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a altura dessa montanha em Marte para que a energia potencial seja a mesma que na Terra.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da energia potencial gravitacional, que é fundamental na matéria de física, mais especificamente em mecânica clássica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia potencial gravitacional:
U = m cdot g cdot h
Onde:
  • U é a energia potencial,
  • m é a massa do objeto (no caso, o astronauta),
  • g é a aceleração da gravidade do planeta,
  • h é a altura da posição elevada.

Passo 3

Na Terra, a energia potencial Ut é dada por:
Ut = m cdot gt cdot ht
Substituindo os valores que conhecemos:
Ut = m cdot 9,8 , m/s^2 cdot 125 , m

Passo 4

Em Marte, queremos que a energia potencial Um seja igual à da Terra, ou seja, Um = Ut. Então:
Um = m cdot gm cdot hm = Ut
Substituindo Ut da equação anterior:
m cdot gm cdot hm = m cdot 9,8 , m/s^2 cdot 125 , m

Passo 5

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por m, já que a massa do astronauta é a mesma nos dois casos:
gm cdot hm = 9,8 , m/s^2 cdot 125 , m
Agora, isolamos hm, que é a altura que queremos encontrar:
hm = 9,8 , m/s^2 cdot 125 , mgm
Substituindo gm = 3,72 , m/s^2:
hm = 9,8 cdot 1253,72

Passo 6

Vamos calcular:
hm = 12253,72 approx 329,33 , m

Resposta

A altura da montanha em Marte deve ser aproximadamente 329,3 metros para que a energia potencial gravitacional do astronauta seja igual à que ele possui na Terra.

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