Um astronauta no espaço livre de gravidade está girando circularmente uma massa presa ao final de um cordão de comprimento R, com velocidade angular constante
. Escreva a segunda Lei de Newton em coordenadas polares e determine a tensão sobre o cordão. (
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um astronauta no espaço sem gravidade, girando uma massa presa no final de um cordão de comprimento
com uma velocidade angular constante
. A gente precisa usar a segunda Lei de Newton em coordenadas polares para descobrir qual é a tensão no cordão. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a segunda Lei de Newton nesse sistema e trabalhar com as fórmulas de força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a segunda Lei de Newton. Ela diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
. Como estamos trabalhando em coordenadas polares, precisamos considerar os componentes radial e angular das forças.
Passo 3
No caso da massa girando em círculo, a aceleração que interessa é a centrípeta, que aponta para o centro do movimento circular. A aceleração centrípeta é dada por
, onde
é o raio da trajetória e
é a velocidade angular.
Passo 4
A única força atuando na direção radial é a tensão
do cordão, que está puxando a massa para o centro. Não há outras forças porque estamos no espaço sem gravidade. Assim, aplicando a segunda Lei de Newton na direção radial temos:
Passo 5
Substituindo a expressão da aceleração centrípeta na equação, temos:
Passo 6
Outra forma de expressar a velocidade angular
é relacionando com a velocidade linear
através de
. Então, podemos reescrever a tensão também como:
Resposta
A tensão no cordão é dada por
.
Exercícios relacionados
Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força
. Obtenha
se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (
A posição de uma partícula em movimento é dada por
, onde b , c e
são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos:
)
Mostre que, se
é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então
é ortogonal a
. Mostre o inverso, se
é ortogonal a
, então
é constante. Sugestão
considere a derivada de
. Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais,
deve estar na direção de
e vice-versa Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.
Considere um pêndulo simples que foi construído com uma massa de 3 kg presa em um fio de comprimento 4 m . Se a massa m for solta de uma determinada altura e passar no ponto mais baixo da trajetória com velocidade
, qual a intensidade da tensão no fio neste ponto? Despreze a resistência do ar. ( R: