A posição de uma partícula em movimento é dada por
, onde b , c e
são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos:
)
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que está se mexendo no plano, e a posição dela em qualquer tempo
é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o caminho que essa partícula está seguindo, ou seja, como é a órbita dela. Para isso, vamos usar um pouco de matemática básica e conceitos de geometria das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa. A posição
é composta por duas partes: uma na direção
e outra na direção
. Isso significa que a partícula está se movendo tanto no eixo
quanto no eixo
.
Passo 3
Vamos chamar as componentes de
e
separadamente:
Aqui,
e
são constantes que vão determinar até onde a partícula se move nos eixos
e
, respectivamente, enquanto
é a frequência angular da movimentação.
Passo 4
Para encontrar a relação entre
e
, vamos eliminar o tempo
das duas equações. Sabemos que:
Isso é uma identidade trigonométrica básica que sempre vale para qualquer ângulo.
Passo 5
Vamos isolar
e
das equações de
e
:
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica mencionada.
Passo 6
Substituindo na identidade:
Essa é a equação padrão de uma elipse, onde
e
são os semieixos nas direções
e
, respectivamente.
Passo 7
Além disso, observando as funções cosseno e seno, percebemos que conforme
aumenta,
também aumenta, o que faz com que a partícula se mova no sentido anti-horário ao redor da elipse.
Resposta
A órbita da partícula é uma elipse que intercepta os eixos
e
nos pontos
e
, respectivamente. O movimento ocorre no sentido antihorário. A equação da trajetória é:
Exercícios relacionados
Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por
.
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para
? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição
, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para
? E para
.)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e
e
. Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
a) Sabendo-se que no instante
b) Sabendo-se ainda que no instante
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R:
Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por
(t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante ? E no instante
? E para t infinito? ( R :
;
b) Em que instantes a partícula pára? ( )
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado acelerado
acelerado
.)
d) Calcule . ( R:
a) Qual a posição da partícula no instante
b) Em que instantes a partícula pára? (
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado
d) Calcule
Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força
. Obtenha
se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (
Um astronauta no espaço livre de gravidade está girando circularmente uma massa presa ao final de um cordão de comprimento R, com velocidade angular constante
. Escreva a segunda Lei de Newton em coordenadas polares e determine a tensão sobre o cordão. (
)