A posição de uma partícula em movimento é dada por , onde b , c e são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos: )

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que está se mexendo no plano, e a posição dela em qualquer tempo é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o caminho que essa partícula está seguindo, ou seja, como é a órbita dela. Para isso, vamos usar um pouco de matemática básica e conceitos de geometria das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa. A posição é composta por duas partes: uma na direção e outra na direção . Isso significa que a partícula está se movendo tanto no eixo quanto no eixo .

Passo 3

Vamos chamar as componentes de e separadamente:
Aqui, e são constantes que vão determinar até onde a partícula se move nos eixos e , respectivamente, enquanto é a frequência angular da movimentação.

Passo 4

Para encontrar a relação entre e , vamos eliminar o tempo das duas equações. Sabemos que:
Isso é uma identidade trigonométrica básica que sempre vale para qualquer ângulo.

Passo 5

Vamos isolar e das equações de e :
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica mencionada.

Passo 6

Substituindo na identidade:
Essa é a equação padrão de uma elipse, onde e são os semieixos nas direções e , respectivamente.

Passo 7

Além disso, observando as funções cosseno e seno, percebemos que conforme aumenta, também aumenta, o que faz com que a partícula se mova no sentido anti-horário ao redor da elipse.

Resposta

A órbita da partícula é uma elipse que intercepta os eixos e nos pontos e , respectivamente. O movimento ocorre no sentido antihorário. A equação da trajetória é:

Exercícios relacionados

Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por .
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para ? E para .)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e e . Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por (t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante ? E no instante ? E para t infinito? ( R : ;
b) Em que instantes a partícula pára? ( )
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado acelerado acelerado .)
d) Calcule . ( R:
Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força . Obtenha se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (
Um astronauta no espaço livre de gravidade está girando circularmente uma massa presa ao final de um cordão de comprimento R, com velocidade angular constante . Escreva a segunda Lei de Newton em coordenadas polares e determine a tensão sobre o cordão. ( )