Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força
. Obtenha
se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que está sendo empurrada por uma força
. O que queremos descobrir é a posição da partícula em função do tempo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e integrais para encontrar a velocidade e depois a posição. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a aceleração. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então temos:
Substituindo a força dada:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a equação em relação ao tempo:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é simplesmente
. Então temos:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, ou seja,
. Substituindo t = 0 na equação da velocidade:
Então,
.
Portanto, a equação da velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo
:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração
. Sabemos que a partícula estava na origem no tempo
, então
:
Então,
.
Assim, a equação da posição fica:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula em movimento é dada por
, onde b , c e
são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos:
)
Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por
.
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para
? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição
, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para
? E para
.)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e
e
. Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
a) Sabendo-se que no instante
b) Sabendo-se ainda que no instante
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R:
Um astronauta no espaço livre de gravidade está girando circularmente uma massa presa ao final de um cordão de comprimento R, com velocidade angular constante
. Escreva a segunda Lei de Newton em coordenadas polares e determine a tensão sobre o cordão. (
)
Mostre que, se
é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então
é ortogonal a
. Mostre o inverso, se
é ortogonal a
, então
é constante. Sugestão
considere a derivada de
. Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais,
deve estar na direção de
e vice-versa Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.