Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força . Obtenha se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa que está sendo empurrada por uma força . O que queremos descobrir é a posição da partícula em função do tempo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e integrais para encontrar a velocidade e depois a posição. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que , onde é a aceleração. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então temos:
Substituindo a força dada:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade , precisamos integrar a equação em relação ao tempo:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é simplesmente . Então temos:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, ou seja, . Substituindo t = 0 na equação da velocidade:
Então, .
Portanto, a equação da velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo :
Integrando termo a termo:

Passo 6

Usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração . Sabemos que a partícula estava na origem no tempo , então :
Então, .
Assim, a equação da posição fica:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula em movimento é dada por , onde b , c e são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos: )
Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por .
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para ? E para .)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e e . Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
Um astronauta no espaço livre de gravidade está girando circularmente uma massa presa ao final de um cordão de comprimento R, com velocidade angular constante . Escreva a segunda Lei de Newton em coordenadas polares e determine a tensão sobre o cordão. ( )
Mostre que, se é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então é ortogonal a . Mostre o inverso, se é ortogonal a , então é constante. Sugestão considere a derivada de . Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais, deve estar na direção de e vice-versa Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.