Um astronauta está em sua nave no espaço sideral e longe de qualquer corpo celeste, de forma que não pode determinar seu peso em uma balança normal. Para determinar sua massa, ele se amarra a uma mola presa a parede da nave, de forma a efetuar um movimento harmônico simples. A mola tem constante elástica de 700 N / m e ele se solta do repouso a uma distância de 10 cm da posição de equilíbrio da mola. Seu período de oscilação é de 2 s . (a) Qual é a posição do astronauta em função do tempo? (b) Qual é a massa do astronauta?

Passo 1

Vamos lá! Temos um astronauta que está no espaço e quer descobrir sua massa usando uma mola. Para isso, ele usa o movimento harmônico simples (MHS). Precisamos usar conceitos de física sobre molas e oscilações para resolver as duas partes do exercício: encontrar a posição do astronauta em função do tempo e determinar sua massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona o movimento harmônico simples. Quando um objeto está preso a uma mola e oscila, sua posição em qualquer instante pode ser descrita por uma função do tempo. A fórmula geral para a posição em MHS é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude da oscilação (a distância máxima da posição de equilíbrio).
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • A amplitude omega = 2piT cm = 0,10 m (pois o astronauta se solta a 10 cm da posição de equilíbrio).
  • O período da oscilação omega = 2pi2 = pi , rad/s s.
Agora, precisamos encontrar , a frequência angular. A relação entre o período e a frequência angular é:
Substituindo s:

Passo 4

Como o astronauta se solta do repouso, a fase inicial x(t) = 0,10 cos(pi t) . Portanto, a equação da posição fica:

Passo 5

Agora, para encontrar a massa do astronauta, usamos a fórmula do período de um MHS:
T = 2pi raizmk
Onde:
  • T = 2pi raizmk Rightarrow T2pi = raizmk Rightarrow (T2pi)^2 = mk Rightarrow m = k (T2pi)^2 é o período.
  • m = 700 (22pi)^2 = 700 (1pi)^2 ≈ 700 times 0,1013 ≈ 70,91 , kg é a massa.
  • é a constante elástica da mola.
Queremos resolver para :
Substituindo os valores e :

Resposta

(a) A posição do astronauta em função do tempo é metros.
(b) A massa do astronauta é aproximadamente .

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