Um astronauta está em sua nave no espaço sideral e longe de qualquer corpo celeste, de forma que não pode determinar seu peso em uma balança normal. Para determinar sua massa, ele se amarra a uma mola presa a parede da nave, de forma a efetuar um movimento harmônico simples. A mola tem constante elástica de
e ele se solta do repouso a uma distância de 10 cm da posição de equilíbrio da mola. Seu período de oscilação é de 2 s . (a) Qual é a posição do astronauta em função do tempo? (b) Qual é a massa do astronauta?
Passo 1
Vamos lá! Temos um astronauta que está no espaço e quer descobrir sua massa usando uma mola. Para isso, ele usa o movimento harmônico simples (MHS). Precisamos usar conceitos de física sobre molas e oscilações para resolver as duas partes do exercício: encontrar a posição do astronauta em função do tempo e determinar sua massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona o movimento harmônico simples. Quando um objeto está preso a uma mola e oscila, sua posição em qualquer instante pode ser descrita por uma função do tempo. A fórmula geral para a posição em MHS é:
Onde:
-
é a amplitude da oscilação (a distância máxima da posição de equilíbrio). -
é a frequência angular. -
é a fase inicial.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- A amplitude
cm = 0,10 m (pois o astronauta se solta a 10 cm da posição de equilíbrio). - O período da oscilação
s.
Agora, precisamos encontrar
, a frequência angular. A relação entre o período e a frequência angular é:
Substituindo
s:
Passo 4
Como o astronauta se solta do repouso, a fase inicial
. Portanto, a equação da posição fica:
Passo 5
Agora, para encontrar a massa do astronauta, usamos a fórmula do período de um MHS:
Onde:
-
é o período. -
é a massa. -
é a constante elástica da mola.
Queremos resolver para
:
Substituindo os valores
e
:
Resposta
(a) A posição do astronauta em função do tempo é
metros.
(b) A massa do astronauta é aproximadamente
.