Cinco partículas realizam movimento harmônico amortecido. Os valores para a constante elástica da mola k, a constante de amortecimento b,e a massa m são dados abaixo. Que oscilador possui a menor taxa de perda de energia mecânica?
Escolha uma opção:
a.
k=150 N / m, m=10 g, b=8 g cdot m / s
b.
k=200 N / m, m=8 g, b=6 g m / s
c.
k=100 N / m, m=50 g, b=8 g m / s
d.
k=100 N / m, m=2 g, b=4 g m / s
e.
k=150 N / m, m=50 g, b=5 g m / s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem cinco partículas que estão fazendo movimento harmônico amortecido. A questão pede para descobrir qual oscilador perde energia mecânica mais devagar. Para resolver isso, vamos precisar entender como a constante de amortecimento , a constante elástica da mola e a massa influenciam na taxa de perda de energia. Vamos comparar essas variáveis nas opções dadas para ver qual delas resulta na menor perda de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de perda de energia mecânica em um oscilador harmônico amortecido é influenciada principalmente pela constante de amortecimento E = 12 k A^2 . Quanto menor for , menor será a taxa de perda de energia.
Além disso, a energia mecânica total de um oscilador harmônico é dada por:
onde é a amplitude das oscilações. No caso amortecido, a amplitude diminui com o tempo, e a taxa de diminuição está relacionada a .
Para comparar as opções, vamos focar na relação entre , e que influencia na taxa de amortecimento.

Passo 3

A fórmula que relaciona a taxa de amortecimento com essas constantes é a seguinte:
Taxa de amortecimento = b2m
Essa fórmula nos mostra que a taxa de amortecimento é diretamente proporcional a e inversamente proporcional a . Ou seja, para uma menor taxa de amortecimento, queremos que seja menor e seja maior.

Passo 4

Vamos analisar cada opção:
a.
k = 150 , N/m, m = 10 , g, b = 8 , g⋅m/s
Taxa = 82 times 10 = 0,4 , s^-1
b.
k = 200 , N/m, m = 8 , g, b = 6 , g⋅m/s
Taxa = 62 times 8 = 0,375 , s^-1
c.
k = 100 , N/m, m = 50 , g, b = 8 , g⋅m/s
Taxa = 82 times 50 = 0,08 , s^-1
d.
k = 100 , N/m, m = 2 , g, b = 4 , g⋅m/s
Taxa = 42 times 2 = 1 , s^-1
e.
k = 150 , N/m, m = 50 , g, b = 5 , g⋅m/s
Taxa = 52 times 50 = 0,05 , s^-1

Resposta

A opção e possui a menor taxa de perda de energia mecânica, com uma taxa de amortecimento de .

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