Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
, fazendo um ângulo de
com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere
; sen
;
.
Despreze a resistência do ar.
Qual é o alcance do projétil?
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
Considere
Despreze a resistência do ar.
Qual é o alcance do projétil?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um canhão que dispara projéteis com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. Precisamos calcular o alcance do projétil, ou seja, a distância horizontal que ele percorre antes de atingir o chão. Para isso, vamos utilizar conceitos de movimento projetil da física, que nos permitem determinar a trajetória de objetos lançados obliquamente. Vamos precisar das fórmulas de cinemática para movimentos uniformemente acelerados e das relações trigonométricas fornecidas:
, e
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes.
Usamos as seguintes fórmulas:
Onde:
-
(velocidade inicial) -
(ângulo de lançamento)
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo total de voo do projétil. O tempo de subida até a altura máxima é igual ao tempo de descida. Usamos a fórmula do tempo de subida:
Onde:
-
(aceleração da gravidade, desprezando a resistência do ar)
Substituindo:
O tempo total de voo será o dobro do tempo de subida:
Passo 4
Com o tempo total de voo, podemos agora calcular o alcance do projétil. O alcance (
) é dado pela fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O alcance do projétil é de
.