Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m / s, fazendo um ângulo de 30^circ com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere raiz 3=1,8; sen 30^circ=0,5; cos 30^circ=0,9.
Despreze a resistência do ar.
Qual é o alcance do projétil?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um canhão que dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m/s formando um ângulo de 30^circ com a horizontal. Precisamos calcular o alcance do projétil, ou seja, a distância horizontal que ele percorre antes de atingir o chão. Para isso, vamos utilizar conceitos de movimento projetil da física, que nos permitem determinar a trajetória de objetos lançados obliquamente. Vamos precisar das fórmulas de cinemática para movimentos uniformemente acelerados e das relações trigonométricas fornecidas: raiz3=1,8, e sen30^circ=0,5.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes.
Usamos as seguintes fórmulas:
v0x = v0 cdot costheta
Onde:
  • v0y = v0 cdot sentheta (velocidade inicial)
  • v0 = 100 m/s (ângulo de lançamento)
Substituindo os valores:
theta = 30^circ
v0x = 100 cdot 0,9 = 90 m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo total de voo do projétil. O tempo de subida até a altura máxima é igual ao tempo de descida. Usamos a fórmula do tempo de subida:
tsubida = v0yg
Onde:
  • g = 10 m/s^2 (aceleração da gravidade, desprezando a resistência do ar)
Substituindo:
tsubida = 5010 = 5 s
O tempo total de voo será o dobro do tempo de subida:
ttotal = 2 cdot tsubida = 2 cdot 5 = 10 s

Passo 4

Com o tempo total de voo, podemos agora calcular o alcance do projétil. O alcance ( R) é dado pela fórmula:
R = v0x cdot ttotal
Substituindo os valores:
R = 90 cdot 10 = 900 m

Resposta

O alcance do projétil é de 900 m.

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