A lei de Gauss para gravitação é
14 pi G Phig=14 pi G oint g cdot d A=-m,
onde m é a massa envolvida e G é a constante de gravitação universal. Deduza a lei da gravitação de Newton a partir desta equação. Qual o significado do sinal negativo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem a lei de Gauss para a gravitação, que relaciona o fluxo do campo gravitacional através de uma superfície fechada com a massa envolvida nessa superfície. O conteúdo aqui envolve conceitos de gravitação e cálculo de fluxos através de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é o campo gravitacional, o fluxo e como aplicar a lei de Gauss para derivar a lei da gravitação de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a lei de Gauss para a gravitação é dada por:
14 pi G oint g cdot dA = -m
Aqui, é o campo gravitacional, é um elemento de área da superfície fechada, é a constante gravitacional, e é a massa total dentro da superfície.

Passo 3

Sabemos que o fluxo do campo gravitacional através de uma superfície fechada é proporcional à massa dentro dessa superfície. Agora, vamos considerar uma distribuição de massa esférica com simetria, o que facilita os cálculos. Vamos imaginar que temos uma esfera de raio com massa concentrada no centro.

Passo 4

Devido à simetria esférica, o campo gravitacional oint g cdot dA = g oint dA = g cdot 4pi r^2 tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é radial, ou seja, perpendicular à superfície. Portanto, podemos simplificar o fluxo integral:
Aqui, é a área da superfície da esfera.

Passo 5

Substituindo isso na lei de Gauss, temos:
14 pi G cdot g cdot 4pi r^2 = -m
Simplificando os g r^2G = -m :

Passo 6

Isolando o campo gravitacional g = -G mr^2 :
Esse é o campo gravitacional criado por uma massa a uma distância .

Passo 7

Agora, lembrando que a força gravitacional F = m' g sobre uma massa de teste F = m' ( -G mr^2 ) = -G m m'r^2 é dada por:
Substituindo :

Passo 8

Essa é justamente a lei da gravitação universal de Newton, que afirma que a força de atração entre duas massas é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
F = -G m m'r^2

Passo 9

Sobre o sinal negativo na equação original, ele indica que a força gravitacional é uma força de atração. Ou seja, as massas se atraem mutuamente, e a direção da força está voltada para o centro da massa que está criando o campo gravitacional.

Resposta

Derivamos a lei da gravitação universal de Newton a partir da lei de Gauss para gravitação, obtendo:
F = -G m m'r^2
O sinal negativo indica que a força gravitacional é uma força de atração entre as massas.

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