A lei de Gauss para gravitação é
onde
é a massa envolvida e
é a constante de gravitação universal. Deduza a lei da gravitação de Newton a partir desta equação. Qual o significado do sinal negativo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem a lei de Gauss para a gravitação, que relaciona o fluxo do campo gravitacional através de uma superfície fechada com a massa envolvida nessa superfície. O conteúdo aqui envolve conceitos de gravitação e cálculo de fluxos através de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é o campo gravitacional, o fluxo e como aplicar a lei de Gauss para derivar a lei da gravitação de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a lei de Gauss para a gravitação é dada por:
Aqui,
é o campo gravitacional,
é um elemento de área da superfície fechada,
é a constante gravitacional, e
é a massa total dentro da superfície.
Passo 3
Sabemos que o fluxo do campo gravitacional
através de uma superfície fechada é proporcional à massa dentro dessa superfície. Agora, vamos considerar uma distribuição de massa esférica com simetria, o que facilita os cálculos. Vamos imaginar que temos uma esfera de raio
com massa
concentrada no centro.
Passo 4
Devido à simetria esférica, o campo gravitacional
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é radial, ou seja, perpendicular à superfície. Portanto, podemos simplificar o fluxo integral:
Aqui,
é a área da superfície da esfera.
Passo 5
Substituindo isso na lei de Gauss, temos:
Simplificando os
:
Passo 6
Isolando o campo gravitacional
:
Esse é o campo gravitacional criado por uma massa
a uma distância
.
Passo 7
Agora, lembrando que a força gravitacional
sobre uma massa de teste
é dada por:
Substituindo
:
Passo 8
Essa é justamente a lei da gravitação universal de Newton, que afirma que a força de atração entre duas massas é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
Passo 9
Sobre o sinal negativo na equação original, ele indica que a força gravitacional é uma força de atração. Ou seja, as massas se atraem mutuamente, e a direção da força está voltada para o centro da massa que está criando o campo gravitacional.
Resposta
Derivamos a lei da gravitação universal de Newton a partir da lei de Gauss para gravitação, obtendo:
O sinal negativo indica que a força gravitacional é uma força de atração entre as massas.