Ao tirar 5 cartas de um baralho embaralhado, a probabilidade de uma mão ter exatamente um par é de cerca de 0,42257 . Se você quiser que a probabilidade de tirar um par dentro de n retiradas independentes seja pelo menos 0,99 , então quantas retiradas devem ser feita?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com probabilidade no contexto de eventos independentes. Sabemos que a probabilidade de tirar exatamente um par em uma mão de 5 cartas de um baralho embaralhado é de aproximadamente 0,42257. Queremos descobrir quantas vezes precisamos realizar essa retirada de 5 cartas para que a probabilidade de obter pelo menos um par em todas essas retiradas seja de pelo menos 0,99.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o conceito de probabilidade complementar. A probabilidade de não obter um par em uma retirada é .

Passo 3

Como as retiradas são independentes, a probabilidade de não obter um par em todas as retiradas é .

Passo 4

Queremos que a probabilidade de obter pelo menos um par em (0,57743)^n <= 0,01 retiradas seja de pelo menos 0,99. Isso significa que a probabilidade de não obter nenhum par deve ser de no máximo 0,01, ou seja:

Passo 5

Para resolver essa desigualdade, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da inequação:
n cdot ln(0,57743) <= ln(0,01)
Agora, isolamos n >= ln(0,01)ln(0,57743) :

Passo 6

Vamos calcular os valores numéricos:
ln(0,01) approx -4,605170
ln(0,57743) approx -0,5508
Substituindo na equação:
n >= -4,605170-0,5508 approx 8,37
Como o número de retiradas n = 9 deve ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Devem ser feitas pelo menos 9 retiradas para que a probabilidade de tirar um par seja de pelo menos 0,99.

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