O tempo gasto no atendimento dos clientes de uma loja de roupas segue uma distribuição exponencial cuja média é de 15 minutos.
a) Qual a probabilidade de que o tempo de atendimento de um determinado cliente selecionado ao acaso seja de pelo menos 30 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo que um cliente passa sendo atendido em uma loja de roupas, que segue uma distribuição exponencial com uma média de 15 minutos. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de que o atendimento de um cliente escolhido aleatoriamente demore pelo menos 30 minutos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições exponenciais e como calcular probabilidades usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é o atendimento a um cliente.
A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
fT(t) = lambda e^-lambda t
onde é a taxa de ocorrência dos eventos.

Passo 3

Sabemos que a média mu = 1lambda da distribuição exponencial é o inverso da taxa lambda = 1mu = 115 , min^-1 :
Dado que a média é 15 minutos, podemos encontrar :

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de atendimento P(T >= t) = e^-lambda t seja pelo menos 30 minutos, ou seja, .
A probabilidade de ser maior ou igual a um certo valor na distribuição exponencial é dada pela função de sobrevivência:

Passo 5

Vamos substituir P(T >= 30) = e^-115 times 30 = e^-2 e na fórmula:

Passo 6

Agora, calculamos e^-2 approx 0,1353 :

Resposta

A probabilidade de que o tempo de atendimento de um cliente escolhido ao acaso seja de pelo menos 30 minutos é de aproximadamente 13,53%.

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