Atkins 7B. 6 (pg. 312)
Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada) , em que é uma constante e .
a) Normalize essa função de onda.
Dica: Integral gaussiana:
b) Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo .
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro:

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem um exercício de química quântica onde precisa normalizar uma função de onda e calcular a probabilidade de encontrar uma partícula num certo intervalo. A função de onda que a gente vai trabalhar é . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais gaussianas e a função erro. Vamos começar normalizando a função de onda!

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, queremos que:

Passo 3

Calculando , temos:

Passo 4

Agora, colocamos isso na integral:

Passo 5

Aí entra a dica da integral gaussiana que foi dada:
Comparando com a nossa integral, temos .

Passo 6

Substituindo na fórmula da integral gaussiana:

Passo 7

Então, para que a integral seja igual a 1, precisamos multiplicar a função de onda original por um fator de normalização :

Passo 8

Portanto, a função de onda normalizada fica:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b), que é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . A probabilidade é dada por:

Passo 10

Sabemos que:

Passo 11

Então, a probabilidade fica:

Passo 12

Fazendo uma mudança de variável para facilitar, vamos definir , então . A integral fica:

Passo 13

Substituindo de volta na probabilidade:

Passo 14

A integral está relacionada com a função erro, que é definida por:

Passo 15

Usando a definição da função erro:

Passo 16

Substituindo de volta na probabilidade:

Resposta

A função de onda normalizada é . A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .

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