Atkins 7B. 6 (pg. 312)
Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada)
, em que
é uma constante e
.
a) Normalize essa função de onda.
Dica: Integral gaussiana:
b) Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo
.
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro:
Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada)
a) Normalize essa função de onda.
Dica: Integral gaussiana:
b) Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro:
Passo 1
Então, galera, vamos lá! A gente tem um exercício de química quântica onde precisa normalizar uma função de onda e calcular a probabilidade de encontrar uma partícula num certo intervalo. A função de onda que a gente vai trabalhar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais gaussianas e a função erro. Vamos começar normalizando a função de onda!
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, queremos que:
Passo 3
Calculando
, temos:
Passo 4
Agora, colocamos isso na integral:
Passo 5
Aí entra a dica da integral gaussiana que foi dada:
Comparando com a nossa integral, temos
.
Passo 6
Substituindo
na fórmula da integral gaussiana:
Passo 7
Então, para que a integral seja igual a 1, precisamos multiplicar a função de onda original por um fator de normalização
:
Passo 8
Portanto, a função de onda normalizada fica:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b), que é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
. A probabilidade é dada por:
Passo 10
Sabemos que:
Passo 11
Então, a probabilidade fica:
Passo 12
Fazendo uma mudança de variável para facilitar, vamos definir
, então
. A integral fica:
Passo 13
Substituindo de volta na probabilidade:
Passo 14
A integral
está relacionada com a função erro, que é definida por:
Passo 15
Usando a definição da função erro:
Passo 16
Substituindo de volta na probabilidade:
Resposta
A função de onda normalizada é
. A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é
.