Atkins 7B. 6 (pg. 312)
Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada) psi(x)=e^-x^2 / 2 a^2, em que a é uma constante e -infty.
a) Normalize essa função de onda.
Dica: Integral gaussiana: integral-infty^infty e^-alpha x^2=raizpialpha
b) Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo -a <= x <= a.
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro: erf(z)= 2raizpi integral0^z e^-t^2 d t

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem um exercício de química quântica onde precisa normalizar uma função de onda e calcular a probabilidade de encontrar uma partícula num certo intervalo. A função de onda que a gente vai trabalhar é . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais gaussianas e a função erro. Vamos começar normalizando a função de onda!

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, queremos que:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

Calculando |psi(x)|^2 = (e^-x^2 / 2 a^2)^2 = e^-x^2 / a^2 , temos:

Passo 4

Agora, colocamos isso na integral:
integral-infty^infty e^-x^2 / a^2 dx = 1

Passo 5

Aí entra a dica da integral gaussiana que foi dada:
integral-infty^infty e^-alpha x^2 dx = raizpialpha
Comparando com a nossa integral, temos .

Passo 6

Substituindo integral-infty^infty e^-x^2 / a^2 dx = raizpi a^2 = araizpi na fórmula da integral gaussiana:

Passo 7

Então, para que a integral seja igual a 1, precisamos multiplicar a função de onda original por um fator de normalização N cdot araizpi = 1 implies N = 1araizpi :

Passo 8

Portanto, a função de onda normalizada fica:
psinormalizada(x) = 1araizpi e^-x^2 / 2 a^2

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b), que é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo P(-a <= x <= a) = integral-a^a |psinormalizada(x)|^2 dx . A probabilidade é dada por:

Passo 10

Sabemos que:
|psinormalizada(x)|^2 = (1araizpi)^2 e^-x^2 / a^2 = 1a^2pi e^-x^2 / a^2

Passo 11

Então, a probabilidade fica:
P(-a <= x <= a) = 1a^2pi integral-a^a e^-x^2 / a^2 dx

Passo 12

Fazendo uma mudança de variável para facilitar, vamos definir integral-1^1 e^-t^2 a dt = a integral-1^1 e^-t^2 dt , então . A integral fica:

Passo 13

Substituindo de volta na probabilidade:
P(-a <= x <= a) = 1a^2pi cdot a integral-1^1 e^-t^2 dt = 1api cdot 2 integral0^1 e^-t^2 dt

Passo 14

A integral erf(z) = 2raizpi integral0^z e^-t^2 dt está relacionada com a função erro, que é definida por:

Passo 15

Usando a definição da função erro:
integral0^1 e^-t^2 dt = raizpi2 erf(1)

Passo 16

Substituindo de volta na probabilidade:
P(-a <= x <= a) = 1api cdot 2 cdot raizpi2 erf(1) = erf(1)raizpi

Resposta

A função de onda normalizada é . A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .

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