Atkins 7B. 2 (pg. 311)
A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
Normalize a função de onda acima.
Dica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda não normalizada para um estado excitado do átomo de Hidrogênio:
Nosso objetivo aqui é normalizar essa função. Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar o elétron em qualquer lugar seja 1. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo e uma fórmula que ajuda a resolver integrais com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização é dada por:
Ou seja, a integral do quadrado da função de onda de 0 até o infinito deve ser igual a 1. Como nossa função ainda não está normalizada, vamos precisar encontrar um fator de normalização que faça essa integral valer 1.

Passo 3

Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Agora, a integral que precisamos resolver é:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a dica que o professor deu:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então . Agora, aplicando a fórmula:
  1. Para o termo constante 4:
  2. Para o termo linear :
  3. Para o termo quadrático :
Somando tudo:
Agora, para que a integral de seja 1, precisamos multiplicar a função de onda original por um fator de normalização :

Resposta

A função de onda normalizada é:

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onde é uma constante.
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