Atkins 7B. 2 (pg. 311)
A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
psi(r)=(2-ra0) e^-r / a0
Normalize a função de onda acima.
Dica: integral0^infty chi^n e^-a chi d chi=n!/ a^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda não normalizada para um estado excitado do átomo de Hidrogênio:
psi(r) = (2 - ra0) e^-r / a0
Nosso objetivo aqui é normalizar essa função. Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar o elétron em qualquer lugar seja 1. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo e uma fórmula que ajuda a resolver integrais com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização é dada por:
integral0^infty |psi(r)|^2 dr = 1
Ou seja, a integral do quadrado da função de onda de 0 até o infinito deve ser igual a 1. Como nossa função psi(r) ainda não está normalizada, vamos precisar encontrar um fator de normalização que faça essa integral valer 1.

Passo 3

Vamos calcular |psi(r)|^2:
|psi(r)|^2 = (2 - ra0)^2 e^-2r / a0
Expandindo o quadrado:
|psi(r)|^2 = (4 - 4ra0 + r^2a0^2) e^-2r / a0
Agora, a integral que precisamos resolver é:
integral0^infty (4 - 4ra0 + r^2a0^2) e^-2r / a0 dr = 1

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a dica que o professor deu:
integral0^infty chi^n e^-a chi dchi = n!a^n+1
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja chi = r, então a = 2/a0. Agora, aplicando a fórmula:
  1. Para o termo constante 4:
  2. Para o termo linear 4 integral0^infty e^-2r / a0 dr = 4 times 0!(2/a0)^1 = 4 times 12/a0 = 4 times a02 = 2a0 :
  3. Para o termo quadrático -4r/a0:
Somando tudo:
-4a0 integral0^infty r e^-2r / a0 dr = -4a0 times 1!(2/a0)^2 = -4a0 times 14/a0^2 = -4a0 times a0^24 = -a0
Agora, para que a integral de r^2/a0^2 seja 1, precisamos multiplicar a função de onda original por um fator de normalização 1a0^2 integral0^infty r^2 e^-2r / a0 dr = 1a0^2 times 2!(2/a0)^3 = 1a0^2 times 28/a0^3 = 1a0^2 times 2a0^38 = a04 :
2a0 - a0 + a04 = a0 + a04 = 5a04

Resposta

A função de onda normalizada é:
psinormalizada(r) = 2raiz5a0 (2 - ra0) e^-r / a0

Exercícios relacionados