Atkins 7B. 2 (pg. 311)
A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
Normalize a função de onda acima.
Dica:
A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda não normalizada para um estado excitado do átomo de Hidrogênio:
Nosso objetivo aqui é normalizar essa função. Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar o elétron em qualquer lugar seja 1. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo e uma fórmula que ajuda a resolver integrais com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização é dada por:
Ou seja, a integral do quadrado da função de onda de 0 até o infinito deve ser igual a 1. Como nossa função
ainda não está normalizada, vamos precisar encontrar um fator de normalização que faça essa integral valer 1.
Passo 3
Vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Agora, a integral que precisamos resolver é:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a dica que o professor deu:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
. Agora, aplicando a fórmula:
-
Para o termo constante 4:
-
Para o termo linear
: -
Para o termo quadrático
:
Somando tudo:
Agora, para que a integral de
seja 1, precisamos multiplicar a função de onda original por um fator de normalização
:
Resposta
A função de onda normalizada é: