Uma onda harmônica em uma corda é dada pela seguinte função de onda
Quais sâo: (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, © a velocidade de propagação da onda, (d) o periodo, (e) o número angular de onda, (f) a frequência angular, ( g ) a fase inicial, ( h ) e o sentido de propagação da onda? (i) Determine a velocidade transversal
máxima e a aceleração transversal ar máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas harmônicas! A gente tem uma função de onda dada por:
Aqui, estamos lidando com onda harmônica, que é um tipo de onda que pode ser descrita por funções seno ou cosseno. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender de conceitos como amplitude, comprimento de onda, velocidade de propagação, período, número angular de onda, frequência angular, fase inicial e direção de propagação da onda. Além disso, vamos calcular a velocidade e aceleração transversais máximas.
Passo 2
a) Amplitude
A amplitude é o valor máximo que a função de onda alcança a partir da posição de equilíbrio. Na nossa função:
A amplitude
é simplesmente o coeficiente que multiplica o seno, então:
Passo 3
b) Comprimento de Onda
O comprimento de onda
é a distância entre dois pontos consecutivos que estão em fase na onda (por exemplo, de um pico a outro). A função de onda tem a forma geral:
Onde
é o número angular de onda. No nosso caso,
.
A relação entre
e
é:
Então:
Passo 4
c) Velocidade de Propagação da Onda
A velocidade de propagação
da onda está relacionada com o comprimento de onda
e a frequência
pela fórmula:
Mas primeiro, precisamos encontrar a frequência
. Vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 5
d) Período
O período
é o tempo que a onda leva para completar uma oscilação. A relação entre a frequência
e o período é:
Mas antes disso, vamos encontrar a frequência usando a frequência angular
.
A frequência angular
está relacionada com a frequência
por:
Então, o período
é:
Passo 6
c) Continuando: Velocidade de Propagação da Onda
Agora que temos o comprimento de onda
e a frequência
, podemos calcular a velocidade
:
Passo 7
e) Número Angular de Onda
O número angular de onda
já está na nossa função de onda:
Passo 8
f) Frequência Angular
A frequência angular
também está na função de onda:
Passo 9
g) Fase Inicial
A fase inicial
é o termo constante dentro do seno. Na nossa função:
Então,
Passo 10
h) Sentido de Propagação da Onda
A direção de propagação da onda depende do sinal que acompanha o tempo
na função de onda. A forma geral é:
Se o sinal antes de
é positivo (+), a onda se propaga para a esquerda; se for negativo (-), para a direita.
No nosso caso, temos:
O sinal antes de
é positivo, então a onda se propaga para a esquerda.
Passo 11
i) Velocidade Transversal Máxima e Aceleração Transversal Máxima
A velocidade transversal
e a aceleração transversal
podem ser encontradas derivando a função de onda em relação ao tempo.
Primeiro, vamos encontrar
:
A velocidade máxima
ocorre quando o cosseno é 1:
Agora, para a aceleração transversal
:
A aceleração máxima
ocorre quando o seno é 1:
Resposta
(a) Amplitude:
(b) Comprimento de onda:
© Velocidade de propagação da onda:
(d) Período:
(e) Número angular de onda:
(f) Frequência angular:
(g) Fase inicial:
(h) Sentido de propagação da onda: para a esquerda
(i) Velocidade transversal máxima:
Aceleração transversal máxima: \( 710,05 \, \text{m/s}^2 \)
Exercícios relacionados
(a) Qual é o princípio físico utilizado na descrição do processo de produção de energia elétrica em hidroelétricas e geradores de energia eólica? Explique com suas palavras esse princípio.
Atkins 7B. 2 (pg. 311)
A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
Normalize a função de onda acima.
Dica:
Dica:
Um fio de nylon tem massa igual a
, comprimento igual a
e está submetido a uma tensão igual a
e suas extremidades estão fixas.
Encontre a velocidade de propagação das ondas nesta corda.
Encontre a velocidade de propagação das ondas nesta corda.
Uma sirene da polícia emite uma onda senoidal com frequência
. A velocidade do som é
e o ar está parado.
Calcule o comprimento de onda das ondas sonoras quando a sirene está em repouso em relação ao ar.
Calcule o comprimento de onda das ondas sonoras quando a sirene está em repouso em relação ao ar.