Uma onda harmônica em uma corda é dada pela seguinte função de onda
y(x, t)=20 times 10^-3 sen[12,57 x+188,50 t+1,05] S I
Quais sâo: (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, © a velocidade de propagação da onda, (d) o periodo, (e) o número angular de onda, (f) a frequência angular, ( g ) a fase inicial, ( h ) e o sentido de propagação da onda? (i) Determine a velocidade transversal Vy máxima e a aceleração transversal ar máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas harmônicas! A gente tem uma função de onda dada por:
Aqui, estamos lidando com onda harmônica, que é um tipo de onda que pode ser descrita por funções seno ou cosseno. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender de conceitos como amplitude, comprimento de onda, velocidade de propagação, período, número angular de onda, frequência angular, fase inicial e direção de propagação da onda. Além disso, vamos calcular a velocidade e aceleração transversais máximas.

Passo 2

a) Amplitude
A amplitude é o valor máximo que a função de onda alcança a partir da posição de equilíbrio. Na nossa função:
A amplitude y(x, t) = 20 times 10^-3 , sen[dots] é simplesmente o coeficiente que multiplica o seno, então:
A = 20 times 10^-3 , metros = 0,02 , m

Passo 3

b) Comprimento de Onda
O comprimento de onda y(x, t) = A , sen(kx pm omega t + phi) é a distância entre dois pontos consecutivos que estão em fase na onda (por exemplo, de um pico a outro). A função de onda tem a forma geral:
Onde k = 2pilambda implies lambda = 2pik é o número angular de onda. No nosso caso, lambda = 2pi12,57 approx 6,283212,57 approx 0,5 , m .
A relação entre e é:
Então:

Passo 4

c) Velocidade de Propagação da Onda
A velocidade de propagação v = lambda times f da onda está relacionada com o comprimento de onda e a frequência pela fórmula:
Mas primeiro, precisamos encontrar a frequência . Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 5

d) Período
O período T = 1f é o tempo que a onda leva para completar uma oscilação. A relação entre a frequência omega = 2pi f implies f = omega2pi = 188,506,2832 approx 30 , Hz e o período é:
T = 130 approx 0,033 , s
Mas antes disso, vamos encontrar a frequência usando a frequência angular .
A frequência angular está relacionada com a frequência por:
Então, o período é:

Passo 6

c) Continuando: Velocidade de Propagação da Onda
Agora que temos o comprimento de onda v = lambda times f = 0,5 times 30 = 15 , m/s e a frequência , podemos calcular a velocidade :

Passo 7

e) Número Angular de Onda
O número angular de onda k = 12,57 , rad/m já está na nossa função de onda:

Passo 8

f) Frequência Angular
A frequência angular omega = 188,50 , rad/s também está na função de onda:

Passo 9

g) Fase Inicial
A fase inicial sen[12,57,x + 188,50,t + 1,05] é o termo constante dentro do seno. Na nossa função:
Então,
phi = 1,05 , rad

Passo 10

h) Sentido de Propagação da Onda
A direção de propagação da onda depende do sinal que acompanha o tempo sen(kx pm omega t + phi) na função de onda. A forma geral é:
Se o sinal antes de sen[12,57,x + 188,50,t + 1,05] é positivo (+), a onda se propaga para a esquerda; se for negativo (-), para a direita.
No nosso caso, temos:
O sinal antes de é positivo, então a onda se propaga para a esquerda.

Passo 11

i) Velocidade Transversal Máxima e Aceleração Transversal Máxima
A velocidade transversal Vy = partial ypartial t = A times omega times cos(kx + omega t + phi) e a aceleração transversal Vy,máx = A times omega = 0,02 times 188,50 approx 3,77 , m/s podem ser encontradas derivando a função de onda em relação ao tempo.
Primeiro, vamos encontrar ay = partial^2 ypartial t^2 = -A times omega^2 times sen(kx + omega t + phi) :
ay,máx = A times omega^2 = 0,02 times (188,50)^2 approx 0,02 times 35502,25 approx 710,05 , m/s^2
A velocidade máxima á ocorre quando o cosseno é 1:
á
Agora, para a aceleração transversal :
A aceleração máxima á ocorre quando o seno é 1:
á

Resposta

(a) Amplitude:
(b) Comprimento de onda:
© Velocidade de propagação da onda:
(d) Período:
(e) Número angular de onda:
(f) Frequência angular:
(g) Fase inicial:
(h) Sentido de propagação da onda: para a esquerda
(i) Velocidade transversal máxima:
Aceleração transversal máxima: \( 710,05 \, \text{m/s}^2 \)

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