Mostre que a função
satisfação a equação de onda:
onde
é uma constante.
Dica: defina uma nova variável
e use a regra da cadeia:
Dica: defina uma nova variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
satisfaz a equação de onda:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos seguir a dica e definir uma nova variável
. Isso simplifica nossa função para
, onde
depende de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia.
A derivada primeira de
em relação a
é:
E a derivada primeira de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas segunda para substituir na equação de onda.
A derivada segunda de
em relação a
é:
E a derivada segunda de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de onda:
Resposta
Conseguimos mostrar que
satisfaz a equação de onda, já que ao substituir as derivadas na equação, obtemos 0. Portanto, a função
é solução da equação de onda dada.