Mostre que a função f(x-v t) satisfação a equação de onda:
partial^2 fpartial x^2-1v^2 partial^2 fpartial t^2=0
onde v é uma constante.
Dica: defina uma nova variável u=x-v t e use a regra da cadeia: partial fpartial x=d f(u)d u partial upartial x e partial fpartial t=d f(u)d u partial upartial t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função partial^2 fpartial x^2 - 1v^2 partial^2 fpartial t^2 = 0 satisfaz a equação de onda:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos seguir a dica e definir uma nova variável . Isso simplifica nossa função para , onde depende de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = dfdu cdot partial upartial x = f'(u) cdot 1 = f'(u) em relação a partial fpartial t = dfdu cdot partial upartial t = f'(u) cdot (-v) = -v f'(u) e usando a regra da cadeia.
A derivada primeira de em relação a é:
E a derivada primeira de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas segunda para substituir na equação de onda.
A derivada segunda de partial^2 fpartial x^2 = ddx ( partial fpartial x ) = ddx ( f'(u) ) = f''(u) cdot partial upartial x = f''(u) cdot 1 = f''(u) em relação a partial^2 fpartial t^2 = ddt ( partial fpartial t ) = ddt ( -v f'(u) ) = -v f''(u) cdot partial upartial t = -v f''(u) cdot (-v) = v^2 f''(u) é:
E a derivada segunda de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de onda:
partial^2 fpartial x^2 - 1v^2 partial^2 fpartial t^2 = f''(u) - 1v^2 cdot v^2 f''(u) = f''(u) - f''(u) = 0

Resposta

Conseguimos mostrar que satisfaz a equação de onda, já que ao substituir as derivadas na equação, obtemos 0. Portanto, a função é solução da equação de onda dada.

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