Mostre que a função satisfação a equação de onda:
onde é uma constante.
Dica: defina uma nova variável e use a regra da cadeia:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função satisfaz a equação de onda:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos seguir a dica e definir uma nova variável . Isso simplifica nossa função para , onde depende de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia.
A derivada primeira de em relação a é:
E a derivada primeira de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas segunda para substituir na equação de onda.
A derivada segunda de em relação a é:
E a derivada segunda de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de onda:

Resposta

Conseguimos mostrar que satisfaz a equação de onda, já que ao substituir as derivadas na equação, obtemos 0. Portanto, a função é solução da equação de onda dada.

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