Os atletas André, Bruno e Carlos correm sempre a uma velocidade constante. Em uma corrida de 100 metros, André deu a Bruno uma vantagem de 20 metros e eles chegaram juntos. Em uma corrida de 400 metros, Bruno deu a Carlos uma vantagem de 20 metros e eles chegaram juntos. Quantos metros de vantagem André deve dar a Carlos para que eles cheguem juntos em uma corrida de 800 metros?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três atletas: André, Bruno e Carlos, que correm sempre na mesma velocidade. Em duas corridas anteriores, André deu uma vantagem para Bruno e Bruno deu uma vantagem para Carlos, e ambos terminaram as corridas juntos. Agora, queremos descobrir quanto André deve dar de vantagem para Carlos em uma corrida de 800 metros para que eles cheguem juntos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade constante e relações de proporção entre as velocidades dos atletas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira corrida de 100 metros onde André deu a Bruno uma vantagem de 20 metros. Isso significa que enquanto André corre 100 metros, Bruno só precisa correr 80 metros para terminar ao mesmo tempo. Vamos chamar a velocidade de André de $ v_A $ e a de Bruno de $ v_B $.
Como ambos levam o mesmo tempo para terminar a corrida, podemos relacionar suas velocidades pela fórmula da velocidade:
Então, temos:
Como os tempos são iguais, podemos relacionar as velocidades:
Isso significa que a velocidade de Bruno é 80% da velocidade de André:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda corrida de 400 metros onde Bruno deu Carlos uma vantagem de 20 metros. Isso significa que, enquanto Bruno corre 400 metros, Carlos corre 380 metros. Vamos chamar a velocidade de Carlos de $ v_C $.
Usando a mesma lógica de antes:
Relacionando as velocidades:
Ou seja, a velocidade de Carlos é 95% da velocidade de Bruno:
Mas já sabemos que $ v_B = 0,8 , v_A $, então substituindo:
Passo 4
Agora que temos as relações entre as velocidades:
Queremos saber qual a vantagem $ x $ que André deve dar para Carlos em uma corrida de 800 metros para que ambos terminem juntos. Isso significa que enquanto André corre 800 metros, Carlos corre $ 800 - x $ metros no mesmo tempo.
Usando a fórmula da velocidade novamente:
Como os tempos são iguais:
Sabemos que $ \frac{v_C}{v_A} = 0,76 $, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ x $:
Multiplicando ambos os lados por 800:
Isolando $ x $:
Resposta
André deve dar a Carlos uma vantagem de 192 metros na corrida de 800 metros para que eles cheguem juntos.