Em uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico através da pressão:
P.
, onde
constante,
e
é uma constante para cada gás. Desenvolver uma expressão para a pressão em função da elevação, sabendo que em
.
Resp.:
P.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma atmosfera adiabática, onde a pressão
varia com o volume específico
de acordo com a relação
. Aqui,
é uma constante,
(sendo
a densidade do gás) e
é uma constante específica para cada gás. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a pressão
em função da elevação
, sabendo que quando
, a pressão é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica adiabática e equilíbrio hidrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a relação adiabática fornecida:
Como
, substituímos:
Aqui, expressamos a pressão
em função da densidade
.
Passo 3
Agora, consideramos o equilíbrio hidrostático na atmosfera, que nos diz que a variação da pressão com a elevação é relacionada à densidade e à aceleração da gravidade
:
Queremos integrar essa equação para encontrar
em função de
.
Passo 4
Substituímos
da relação adiabática na equação de equilíbrio hidrostático:
Aqui, isolamos
em termos de
usando
.
Passo 5
Rearranjamos a equação para separar as variáveis
e
:
Pronto para integrar ambos os lados.
Passo 6
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo:
E do lado direito:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração considerando que quando
,
:
Simplificando, multiplicamos ambos os lados por
: