Em uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico através da pressão:
P. V^gamma=K, onde K= constante, V=1rho e gamma é uma constante para cada gás. Desenvolver uma expressão para a pressão em função da elevação, sabendo que em y=yo P=P0.
Resp.: P^(-1gamma+1)-Po^(-1gamma+1)=(yo-y) gK^1gamma cdot(-1gamma+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma atmosfera adiabática, onde a pressão varia com o volume específico de acordo com a relação . Aqui, é uma constante, (sendo a densidade do gás) e é uma constante específica para cada gás. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a pressão em função da elevação , sabendo que quando , a pressão é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica adiabática e equilíbrio hidrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação adiabática fornecida:
P cdot V^gamma = K
Como P cdot ( 1rho )^gamma = K Rightarrow P = K cdot rho^gamma , substituímos:
Aqui, expressamos a pressão em função da densidade .

Passo 3

Agora, consideramos o equilíbrio hidrostático na atmosfera, que nos diz que a variação da pressão com a elevação é relacionada à densidade e à aceleração da gravidade dPdy = -rho cdot g :
Queremos integrar essa equação para encontrar em função de .

Passo 4

Substituímos dPdy = -P^1/gammaK^1/gamma cdot g da relação adiabática na equação de equilíbrio hidrostático:
Aqui, isolamos em termos de usando .

Passo 5

Rearranjamos a equação para separar as variáveis P^-1/gamma , dP = -gK^1/gamma , dy e :
Pronto para integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando os dois lados:
integral P^-1/gamma , dP = -gK^1/gamma integral dy
A integral do lado esquerdo:
P^1 - 1/gamma1 - 1/gamma
E do lado direito:
-gK^1/gamma y + C

Passo 7

Aplicamos os limites de integração considerando que quando P^1 - 1/gamma - P0^1 - 1/gamma1 - 1/gamma = -gK^1/gamma (y - y0) , P^1 - 1/gamma - P0^1 - 1/gamma = g (y0 - y)K^1/gamma (1 - 1gamma) :
Simplificando, multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

P^( -1gamma + 1 ) - P0^( -1gamma + 1 ) = ( y0 - y ) g K^1gamma cdot ( -1gamma + 1 )

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