Em uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico através da pressão:
P. , onde constante, e é uma constante para cada gás. Desenvolver uma expressão para a pressão em função da elevação, sabendo que em .
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma atmosfera adiabática, onde a pressão varia com o volume específico de acordo com a relação . Aqui, é uma constante, (sendo a densidade do gás) e é uma constante específica para cada gás. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a pressão em função da elevação , sabendo que quando , a pressão é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica adiabática e equilíbrio hidrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação adiabática fornecida:
Como , substituímos:
Aqui, expressamos a pressão em função da densidade .

Passo 3

Agora, consideramos o equilíbrio hidrostático na atmosfera, que nos diz que a variação da pressão com a elevação é relacionada à densidade e à aceleração da gravidade :
Queremos integrar essa equação para encontrar em função de .

Passo 4

Substituímos da relação adiabática na equação de equilíbrio hidrostático:
Aqui, isolamos em termos de usando .

Passo 5

Rearranjamos a equação para separar as variáveis e :
Pronto para integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo:
E do lado direito:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração considerando que quando , :
Simplificando, multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

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