Deduza a expressão para o valor de OD crítico e do tempo crítico para a equação de Streeter-Phelps.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a expressão para o valor de OD crítico e o tempo crítico usando a equação de Streeter-Phelps. Essa equação é usada na engenharia ambiental para modelar como a demanda bioquímica de oxigênio (DBO ou OD) se comporta em um rio poluído. Vamos precisar resolver algumas equações diferenciais e entender como a concentração de oxigênio muda ao longo do tempo e do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira equação dada:
Aqui,
é a velocidade da correnteza do rio,
é a concentração de DBO,
é a distância, e
é a constante de reaeração. Essa é uma equação diferencial que descreve como a DBO diminui à medida que a água flui.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a concentração inicial de DBO.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação:
Onde
é a concentração de oxigênio,
é a taxa de decomposição da DBO, e
é a taxa de adição de oxigênio. Essa equação relaciona como o oxigênio é consumido e produzido.
Passo 5
Substituindo
que encontramos anteriormente na equação de
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial:
Primeiro, rearranjamos a equação:
O fator integrante
é:
Multiplicando a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Simplificando:
Passo 7
Aplicando a condição inicial
quando
:
Resolvendo para
:
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 8
Agora, para encontrar o OD crítico (
) e o tempo crítico (
), devemos analisar onde a taxa de mudança de
é zero, ou seja, onde
.
Usando as expressões de
e
em termos do tempo
, podemos derivar e igualar a zero para encontrar
, e então substituir de volta para encontrar
.
Após realizar esses cálculos, chegamos às expressões críticas:
Resposta
A expressão para o OD crítico é:
E o tempo crítico é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule
Em uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico através da pressão:
P. , onde
constante,
e
é uma constante para cada gás. Desenvolver uma expressão para a pressão em função da elevação, sabendo que em
.
Resp.:
P.
Resp.:
Um manômetro de Bourdon conectado a um tanque dá uma leitura de 40 psi. Se a pressão no tanque for mantida constante e o tanque for colocado numa caverna cuja pressão corresponda a um vácuo de 25 in de Hg , calcular a nova leitura do manômetro. Suponha a pressão atmosférica normal igual a 14,7 psia.