Deduza a expressão para o valor de OD crítico e do tempo crítico para a equação de Streeter-Phelps.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a expressão para o valor de OD crítico e o tempo crítico usando a equação de Streeter-Phelps. Essa equação é usada na engenharia ambiental para modelar como a demanda bioquímica de oxigênio (DBO ou OD) se comporta em um rio poluído. Vamos precisar resolver algumas equações diferenciais e entender como a concentração de oxigênio muda ao longo do tempo e do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação dada:
Aqui, é a velocidade da correnteza do rio, é a concentração de DBO, é a distância, e é a constante de reaeração. Essa é uma equação diferencial que descreve como a DBO diminui à medida que a água flui.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Aqui, é a concentração inicial de DBO.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação:
Onde é a concentração de oxigênio, é a taxa de decomposição da DBO, e é a taxa de adição de oxigênio. Essa equação relaciona como o oxigênio é consumido e produzido.

Passo 5

Substituindo que encontramos anteriormente na equação de :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial:
Primeiro, rearranjamos a equação:
O fator integrante é:
Multiplicando a equação diferencial por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Simplificando:

Passo 7

Aplicando a condição inicial quando :
Resolvendo para :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Agora, para encontrar o OD crítico ( ) e o tempo crítico ( ), devemos analisar onde a taxa de mudança de é zero, ou seja, onde .
Usando as expressões de e em termos do tempo , podemos derivar e igualar a zero para encontrar , e então substituir de volta para encontrar .
Após realizar esses cálculos, chegamos às expressões críticas:

Resposta

A expressão para o OD crítico é:
E o tempo crítico é dado por:

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Calcule
Em uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico através da pressão:
P. , onde constante, e é uma constante para cada gás. Desenvolver uma expressão para a pressão em função da elevação, sabendo que em .
Resp.:
Um manômetro de Bourdon conectado a um tanque dá uma leitura de 40 psi. Se a pressão no tanque for mantida constante e o tanque for colocado numa caverna cuja pressão corresponda a um vácuo de 25 in de Hg , calcular a nova leitura do manômetro. Suponha a pressão atmosférica normal igual a 14,7 psia.