Deduza a expressão para o valor de OD crítico e do tempo crítico para a equação de Streeter-Phelps.
u d Ld x=-kr L
u d Dd x=kd L-ka D L=L0 exp (-kr t) D=D0 exp (-ka t)+kd L0ka-kr[exp (-kr t)-exp (-ka t)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a expressão para o valor de OD crítico e o tempo crítico usando a equação de Streeter-Phelps. Essa equação é usada na engenharia ambiental para modelar como a demanda bioquímica de oxigênio (DBO ou OD) se comporta em um rio poluído. Vamos precisar resolver algumas equações diferenciais e entender como a concentração de oxigênio muda ao longo do tempo e do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação dada:
u d Ld x = -kr L
Aqui, é a velocidade da correnteza do rio, é a concentração de DBO, é a distância, e é a constante de reaeração. Essa é uma equação diferencial que descreve como a DBO diminui à medida que a água flui.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial:
u d Ld x = -kr L d LL = -kru dx
Integrando ambos os lados:
ln L = -kru x + C L = L0 e^-kru x
Aqui, é a concentração inicial de DBO.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação:
u d Dd x = kd L - ka D
Onde é a concentração de oxigênio, é a taxa de decomposição da DBO, e é a taxa de adição de oxigênio. Essa equação relaciona como o oxigênio é consumido e produzido.

Passo 5

Substituindo u d Dd x = kd L0 e^-kru x - ka D que encontramos anteriormente na equação de :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial:
Primeiro, rearranjamos a equação:
d Ddx + kau D = kd L0u e^-kru x
O fator integrante mu(x) = e^integral kau dx = e^kau x é:
e^kau x d Ddx + kau e^kau x D = kd L0u e^(-kru + kau) x
Multiplicando a equação diferencial por ddx ( e^kau x D ) = kd L0u e^(-kru + kau) x :
e^kau x D = kd L0u ( -kru + kau ) e^(-kru + kau) x + C
Isso simplifica para:
D = kd L0ka - kr e^-kru x + C e^-kau x
Integrando ambos os lados:
Simplificando:

Passo 7

Aplicando a condição inicial D0 = kd L0ka - kr + C quando C = D0 - kd L0ka - kr :
D = kd L0ka - kr e^-kru x + ( D0 - kd L0ka - kr ) e^-kau x
Resolvendo para :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Agora, para encontrar o OD crítico ( ) e o tempo crítico ( ), devemos analisar onde a taxa de mudança de é zero, ou seja, onde .
Usando as expressões de e em termos do tempo , podemos derivar e igualar a zero para encontrar , e então substituir de volta para encontrar .
Após realizar esses cálculos, chegamos às expressões críticas:

Resposta

A expressão para o OD crítico é:
Dcr = D0 ka - D0 kr + kd L0ka - kr
E o tempo crítico é dado por:
tcr = 1ka - kr ln ( kakr )

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