Um átomo de sódio está em um dos estados excitados. Ele permanece nesse estado por
antes de sofrer uma transição de volta ao estado fundamental, emitindo um fóton com energia de
e
. Qual é a incerteza na energia desse estado excitado? Qual é o intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente?
Passo 1
Vamos lá! Temos um átomo de sódio que está em um estado excitado por
antes de voltar ao estado fundamental, liberando um fóton com energia de
e comprimento de onda
. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- A incerteza na energia desse estado excitado (
). - O intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente (
).
Para resolver isso, vamos usar o princípio da incerteza de energia-tempo da mecânica quântica, que nos ajuda a entender a relação entre a duração de um estado excitado e a incerteza na sua energia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a incerteza na energia (
) usando o princípio da incerteza de energia-tempo, que é dado por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente
, e
é o tempo de duração do estado excitado, que é
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, para converter essa energia para elétron-volts (eV), lembramos que
:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de comprimentos de onda (
) da linha espectral. Sabemos que a energia do fóton está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda.
Podemos relacionar a incerteza na energia à incerteza no comprimento de onda usando derivadas:
Resolvendo para
:
Passo 5
Vamos calcular
:
Primeiro, convertemos
para metros:
Agora, substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora, dividindo:
Convertendo para nanômetros:
Resposta
A incerteza na energia do estado excitado é aproximadamente
. O intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente é de cerca de
.