Um átomo de sódio está em um dos estados excitados. Ele permanece nesse estado por antes de sofrer uma transição de volta ao estado fundamental, emitindo um fóton com energia de e . Qual é a incerteza na energia desse estado excitado? Qual é o intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente?

Passo 1

Vamos lá! Temos um átomo de sódio que está em um estado excitado por antes de voltar ao estado fundamental, liberando um fóton com energia de e comprimento de onda . Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. A incerteza na energia desse estado excitado ( ).
  2. O intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente ( ).
Para resolver isso, vamos usar o princípio da incerteza de energia-tempo da mecânica quântica, que nos ajuda a entender a relação entre a duração de um estado excitado e a incerteza na sua energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a incerteza na energia ( ) usando o princípio da incerteza de energia-tempo, que é dado por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente , e é o tempo de duração do estado excitado, que é .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, para converter essa energia para elétron-volts (eV), lembramos que :

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de comprimentos de onda ( ) da linha espectral. Sabemos que a energia do fóton está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
Onde:
  • é a constante de Planck ( ),
  • é a velocidade da luz ( ),
  • é o comprimento de onda.
Podemos relacionar a incerteza na energia à incerteza no comprimento de onda usando derivadas:
Resolvendo para :

Passo 5

Vamos calcular :
Primeiro, convertemos para metros:
Agora, substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora, dividindo:
Convertendo para nanômetros:

Resposta

A incerteza na energia do estado excitado é aproximadamente . O intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente é de cerca de .

Exercícios relacionados

Uma linha infinita de cargas produz um campo elétrico de módulo a uma distância de da mesma. b) Calcule o campo elétrico a uma distância de 5,0 cm.
Uma partícula puntiforme, de carga elétrica igual a , é deixada em uma região de campo elétrico igual a 150 N/C. Calcule o módulo da força elétrica produzida sobre essa carga.
Usando a lei de distribuição de Boltzmann, calcule o número de moléculas em um típico estado excitado rotacional, vibracional e eletrônico à e considerando que os estados excitados estão a 30,1000 e , respectivamente, acima do estado fundamental.
Demostre que as regras de seleção para átomos hidrogenóides são dadas por . Para a obtenção das regras de seleção solicitadas escreva as componentes e do operador momento de dipolo em termos dos harmônicos esféricos e considere que a integral:
será nula a menos que e (esta é uma propriedade dos harmônicos esféricos).