Um átomo de sódio está em um dos estados excitados. Ele permanece nesse estado por 1,6 times 10^-8 s antes de sofrer uma transição de volta ao estado fundamental, emitindo um fóton com energia de 2,105 eV e lambda=589,0 nm. Qual é a incerteza na energia desse estado excitado? Qual é o intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente?

Passo 1

Vamos lá! Temos um átomo de sódio que está em um estado excitado por 1,6 times 10^-8 s antes de voltar ao estado fundamental, liberando um fóton com energia de 2,105 eV e comprimento de onda lambda=589,0 nm. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. A incerteza na energia desse estado excitado ( De).
  2. O intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente ( De).
Para resolver isso, vamos usar o princípio da incerteza de energia-tempo da mecânica quântica, que nos ajuda a entender a relação entre a duração de um estado excitado e a incerteza na sua energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a incerteza na energia ( De) usando o princípio da incerteza de energia-tempo, que é dado por:
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1,054 times 10^-34 J cdot s, e De é o tempo de duração do estado excitado, que é 1,6 times 10^-8 s.

Passo 3

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de comprimentos de onda ( De) da linha espectral. Sabemos que a energia do fóton está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
E = hclambda
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 J cdot s),
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 m/s),
  • lambda é o comprimento de onda.
Podemos relacionar a incerteza na energia à incerteza no comprimento de onda usando derivadas:
De
Resolvendo para De:
De

Passo 5

Vamos calcular De:
Primeiro, convertemos lambda = 589,0 nm para metros:
lambda = 589,0 times 10^-9 m
Agora, substituindo os valores:
De
Calculando o numerador:
(589,0 times 10^-9)^2 = 3,469 times 10^-13 m^2
3,469 times 10^-13 m^2 times 3,29375 times 10^-27 J = 1,141 times 10^-39 J cdot m^2
Calculando o denominador:
6,626 times 10^-34 J cdot s times 3,00 times 10^8 m/s = 1,988 times 10^-25 J cdot m
Agora, dividindo:
De
Convertendo para nanômetros:
De

Resposta

A incerteza na energia do estado excitado é aproximadamente 2,06 times 10^-8 eV. O intervalo de comprimentos de onda da linha espectral correspondente é de cerca de 5,73 times 10^-6 nm.

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