Demostre que as regras de seleção para átomos hidrogenóides são dadas por . Para a obtenção das regras de seleção solicitadas escreva as componentes e do operador momento de dipolo em termos dos harmônicos esféricos e considere que a integral:
será nula a menos que e (esta é uma propriedade dos harmônicos esféricos).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar as regras de seleção para átomos hidrogenóides, que dizem que a mudança no número quântico angular orbital ( ) é e a mudança no número magnético ( ) é ou . Para isso, vamos usar o operador momento de dipolo e trabalhar com harmônicos esféricos. Vamos precisar entender como os harmônicos esféricos funcionam e como eles se relacionam com as integrais envolvendo esses harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o operador momento de dipolo pode ser decomposto em suas componentes , e . Essas componentes podem ser expressas em termos de harmônicos esféricos, que são funções matemáticas usadas para resolver problemas de simetria esférica na física. Os harmônicos esféricos são denotados por , onde é o número quântico angular e é o número quântico magnético.

Passo 3

Agora, vamos expressar as componentes do operador momento de dipolo em termos dos harmônicos esféricos. Sabemos que:
Aqui, , e são as componentes do momento de dipolo em termos dos harmônicos esféricos , e , respectivamente.

Passo 4

Para determinar as regras de seleção, precisamos calcular a integral dada:
Essa integral representa a sobreposição dos harmônicos esféricos envolvidos na transição. Já foi dado que essa integral é nula a menos que e . Isso nos dá as primeiras regras de seleção: e .

Passo 5

Observando as componentes do momento de dipolo que expressamos anteriormente, vemos que pode assumir os valores , e . Assim, a mudança no número magnético pode ser , ou . Isso confirma que as regras de seleção para são .

Passo 6

Juntando tudo, mostramos que para que a integral não seja nula, as mudanças nos números quânticos devem obedecer a e . Isso significa que as regras de seleção para transições elétricas de dipolo em átomos hidrogenóides são exatamente essas.

Resposta

As regras de seleção para átomos hidrogenóides são e .

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