Usando a lei de distribuição de Boltzmann, calcule o número de moléculas em um típico estado excitado rotacional, vibracional e eletrônico à
e
considerando que os estados excitados estão a 30,1000 e
, respectivamente, acima do estado fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a lei de distribuição de Boltzmann para calcular quantas moléculas estão nos estados excitados rotacional, vibracional e eletrônico a duas temperaturas diferentes: 25°C e 1000°C. Para isso, vamos precisar entender como a distribuição de Boltzmann funciona e como aplicar essa fórmula para encontrar o número de moléculas em cada estado excitado considerando as energias dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Distribuição de Boltzmann. Ela nos diz a proporção de partículas que estão em um certo estado de energia num sistema em equilíbrio térmico. A fórmula básica é:
Onde:
-
é o número de moléculas no estado . -
é o número total de moléculas. -
é o fator de degenerescência do estado (quantas maneiras existem de estar nesse estado). -
é a energia do estado acima do estado fundamental. -
é a constante de Boltzmann ( ). -
é a temperatura em Kelvin. -
é a função partição, que é a soma de todos os para todos os estados.
Para simplificar, se considerarmos que
e que o estado fundamental tem energia zero, a fração de moléculas no estado excitado fica:
Passo 3
Agora, vamos ajustar as unidades para que tudo fique compatível. As energias estão dadas em
, que é uma unidade de número de onda. Para converter isso para energia em joules, usamos a relação:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ). -
é a velocidade da luz ( ). -
é o número de onda em .
Vamos calcular:
- Estado Rotacional:
- Estado Vibracional:
- Estado Eletrônico:
Por exemplo, para o estado rotacional:
Fazemos o mesmo para os outros estados.
Passo 4
Agora que temos as energias em joules, vamos calcular a fração de moléculas em cada estado excitado usando a fórmula de Boltzmann:
Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Agora, calculamos
para cada estado e temperatura.
Por exemplo, para o estado rotacional a 298.15 K:
E então:
Repetimos esse cálculo para todos os estados e ambas as temperaturas.
Passo 5
Finalmente, para encontrar o número de moléculas em cada estado excitado, multiplicamos a fração obtida pelo número total de moléculas
. Se não for fornecido um valor específico para
, podemos expressar o resultado em termos de
.
Por exemplo, se
moléculas:
Fazemos isso para cada estado e temperatura.
Resposta
Portanto, usando a lei de distribuição de Boltzmann, calculamos que o número de moléculas nos estados excitados rotacional, vibracional e eletrônico a 25°C e 1000°C é dado por:
Onde
é o número total de moléculas,
é a energia do estado excitado correspondente,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura em Kelvin. Substituindo os valores específicos, obtemos o número de moléculas em cada estado para as duas temperaturas consideradas.