Usando a lei de distribuição de Boltzmann, calcule o número de moléculas em um típico estado excitado rotacional, vibracional e eletrônico à 25^circ C e 1000^circ C considerando que os estados excitados estão a 30,1000 e 40.000 cm^-1, respectivamente, acima do estado fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a lei de distribuição de Boltzmann para calcular quantas moléculas estão nos estados excitados rotacional, vibracional e eletrônico a duas temperaturas diferentes: 25°C e 1000°C. Para isso, vamos precisar entender como a distribuição de Boltzmann funciona e como aplicar essa fórmula para encontrar o número de moléculas em cada estado excitado considerando as energias dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Distribuição de Boltzmann. Ela nos diz a proporção de partículas que estão em um certo estado de energia num sistema em equilíbrio térmico. A fórmula básica é:
NiN = gi e^-Ei / (kT)Z
Onde:
  • NiN = e^-Ei / (kT) é o número de moléculas no estado .
  • é o número total de moléculas.
  • é o fator de degenerescência do estado (quantas maneiras existem de estar nesse estado).
  • é a energia do estado acima do estado fundamental.
  • é a constante de Boltzmann ( ).
  • é a temperatura em Kelvin.
  • é a função partição, que é a soma de todos os para todos os estados.
Para simplificar, se considerarmos que e que o estado fundamental tem energia zero, a fração de moléculas no estado excitado fica:

Passo 3

Agora, vamos ajustar as unidades para que tudo fique compatível. As energias estão dadas em E (J) = h c tildenu , que é uma unidade de número de onda. Para converter isso para energia em joules, usamos a relação:
E = h c tildenu
Onde:
  • Erotacional = 6.626 times 10^-34 , J·s times 3 times 10^10 , cm/s times 30 , cm^-1 = 5.967 times 10^-22 , J é a constante de Planck ( ).
  • é a velocidade da luz ( ).
  • é o número de onda em .
Vamos calcular:
  1. Estado Rotacional:
  2. Estado Vibracional:
  3. Estado Eletrônico:
Por exemplo, para o estado rotacional:
Fazemos o mesmo para os outros estados.

Passo 4

Agora que temos as energias em joules, vamos calcular a fração de moléculas em cada estado excitado usando a fórmula de Boltzmann:
NiN = e^-Ei / (kT)
Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
T1 = 25°C + 273.15 = 298.15 , K
T2 = 1000°C + 273.15 = 1273.15 , K
Agora, calculamos ErotacionalkT = 5.967 times 10^-22 , J1.380649 times 10^-23 , J/K times 298.15 , K approx 1.45 para cada estado e temperatura.
Por exemplo, para o estado rotacional a 298.15 K:
NrotacionalN = e^-1.45 approx 0.234
E então:
Repetimos esse cálculo para todos os estados e ambas as temperaturas.

Passo 5

Finalmente, para encontrar o número de moléculas em cada estado excitado, multiplicamos a fração obtida pelo número total de moléculas Nrotacional = 0.234 times 10^23 = 2.34 times 10^22 , moléculas . Se não for fornecido um valor específico para , podemos expressar o resultado em termos de .
Por exemplo, se moléculas:
é
Fazemos isso para cada estado e temperatura.

Resposta

Portanto, usando a lei de distribuição de Boltzmann, calculamos que o número de moléculas nos estados excitados rotacional, vibracional e eletrônico a 25°C e 1000°C é dado por:
Ni = N times e^-Ei / (kT)
Onde é o número total de moléculas, é a energia do estado excitado correspondente, é a constante de Boltzmann e é a temperatura em Kelvin. Substituindo os valores específicos, obtemos o número de moléculas em cada estado para as duas temperaturas consideradas.

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