(a) Au nível de significância de
, teste se a variação média esperada poderá ser considerada: (a) igual a 1,3 graus. (b) inferior a 1,3 graus.
(b) Calcule o valor-p para cada um dos testes anteriores.
(b) Calcule o valor-p para cada um dos testes anteriores.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que realizar um teste de hipótese para a média de variação esperada com um nível de significância de 8%. Isso envolve avaliar se a média é igual a 1,3 graus ou se é inferior a 1,3 graus. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de testes de hipótese, média amostral, distribuição t e cálculo do valor-p.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses para cada parte do item (a).
a) Igual a 1,3 graus:
- Hipótese nula (H₀): A média de variação esperada é igual a 1,3 graus, ou seja, $ \mu = 1,3 $.
- Hipótese alternativa (H₁): A média de variação esperada não é igual a 1,3 graus, ou seja, $ \mu \neq 1,3 $.
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente em qualquer direção.
b) Inferior a 1,3 graus:
- Hipótese nula (H₀): A média de variação esperada é igual a 1,3 graus, $ \mu = 1,3 $.
- Hipótese alternativa (H₁): A média de variação esperada é inferior a 1,3 graus, $ \mu < 1,3 $.
Esse é um teste unilateral, pois estamos verificando se a média é menor que 1,3 graus.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. A fórmula geral para o teste t é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média amostral,
- $ \mu_0 $ é a média hipotética (1,3 graus),
- $ s $ é o desvio padrão da amostra,
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Vamos supor que temos os seguintes dados da amostra:
- Média amostral ($ \bar{x} $): 1,2 graus
- Desvio padrão ($ s $): 0,5 graus
- Tamanho da amostra ($ n $): 25
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 8%. Como estamos usando um teste t e o tamanho da amostra é 25, os graus de liberdade são $ n - 1 = 24 $.
Para o teste bilateral (a part (a) a)), vamos procurar os valores críticos para $ \alpha/2 = 0,04 $ em cada cauda da distribuição t com 24 graus de liberdade.
Para o teste unilateral (a part (b) a)), procuraremos o valor crítico para $ \alpha = 0,08 $ na cauda inferior.
Usando uma tabela t ou uma calculadora estatística, encontramos:
- Valor crítico bilateral: aproximadamente $ \pm 1,711 $
- Valor crítico unilateral: aproximadamente $ -1,318 $
Passo 5
Agora, comparamos o valor do teste estatístico com os valores críticos.
a) Igual a 1,3 graus (teste bilateral):
- Nosso valor $ t = -1 $ está dentro do intervalo entre $ -1,711 $ e $ 1,711 $.
- Como não está na região de rejeição, não rejeitamos a hipótese nula.
b) Inferior a 1,3 graus (teste unilateral):
- Nosso valor $ t = -1 $ é menor que o valor crítico de $ -1,318 $.
- Como está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 6
Para calcular o valor-p para cada teste, usamos a distribuição t.
a) Igual a 1,3 graus (teste bilateral):
- Valor-p = 2 * P(T ≤ -1)
- Usando a tabela t, para $ t = -1 $ e 24 graus de liberdade, P(T ≤ -1) ≈ 0,17
- Então, Valor-p ≈ 2 * 0,17 = 0,34
b) Inferior a 1,3 graus (teste unilateral):
- Valor-p = P(T ≤ -1)
- Como já vimos, P(T ≤ -1) ≈ 0,17
Resposta
(a)
- Para testar se a média é igual a 1,3 graus, não rejeitamos a hipótese nula, pois o valor do teste está dentro da região de aceitação.
- Para testar se a média é inferior a 1,3 graus, rejeitamos a hipótese nula, pois o valor do teste está na região de rejeição.
(b)
- O valor-p para o teste de igualdade a 1,3 graus é aproximadamente 0,34.
- O valor-p para o teste de inferioridade a 1,3 graus é aproximadamente 0,17.