(a) Au nível de significância de 8 %, teste se a variação média esperada poderá ser considerada: (a) igual a 1,3 graus. (b) inferior a 1,3 graus.
(b) Calcule o valor-p para cada um dos testes anteriores.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que realizar um teste de hipótese para a média de variação esperada com um nível de significância de 8%. Isso envolve avaliar se a média é igual a 1,3 graus ou se é inferior a 1,3 graus. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de testes de hipótese, média amostral, distribuição t e cálculo do valor-p.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses para cada parte do item (a).
a) Igual a 1,3 graus:
  • Hipótese nula (H₀): A média de variação esperada é igual a 1,3 graus, ou seja, $ \mu = 1,3 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de variação esperada não é igual a 1,3 graus, ou seja, $ \mu \neq 1,3 $.
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente em qualquer direção.
b) Inferior a 1,3 graus:
  • Hipótese nula (H₀): A média de variação esperada é igual a 1,3 graus, $ \mu = 1,3 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de variação esperada é inferior a 1,3 graus, $ \mu < 1,3 $.
Esse é um teste unilateral, pois estamos verificando se a média é menor que 1,3 graus.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. A fórmula geral para o teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média amostral,
  • $ \mu_0 $ é a média hipotética (1,3 graus),
  • $ s $ é o desvio padrão da amostra,
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
Vamos supor que temos os seguintes dados da amostra:
  • Média amostral ($ \bar{x} $): 1,2 graus
  • Desvio padrão ($ s $): 0,5 graus
  • Tamanho da amostra ($ n $): 25
Substituindo na fórmula:
barx

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 8%. Como estamos usando um teste t e o tamanho da amostra é 25, os graus de liberdade são $ n - 1 = 24 $.
Para o teste bilateral (a part (a) a)), vamos procurar os valores críticos para $ \alpha/2 = 0,04 $ em cada cauda da distribuição t com 24 graus de liberdade.
Para o teste unilateral (a part (b) a)), procuraremos o valor crítico para $ \alpha = 0,08 $ na cauda inferior.
Usando uma tabela t ou uma calculadora estatística, encontramos:
  • Valor crítico bilateral: aproximadamente $ \pm 1,711 $
  • Valor crítico unilateral: aproximadamente $ -1,318 $

Passo 5

Agora, comparamos o valor do teste estatístico com os valores críticos.
a) Igual a 1,3 graus (teste bilateral):
  • Nosso valor $ t = -1 $ está dentro do intervalo entre $ -1,711 $ e $ 1,711 $.
  • Como não está na região de rejeição, não rejeitamos a hipótese nula.
b) Inferior a 1,3 graus (teste unilateral):
  • Nosso valor $ t = -1 $ é menor que o valor crítico de $ -1,318 $.
  • Como está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 6

Para calcular o valor-p para cada teste, usamos a distribuição t.
a) Igual a 1,3 graus (teste bilateral):
  • Valor-p = 2 * P(T ≤ -1)
  • Usando a tabela t, para $ t = -1 $ e 24 graus de liberdade, P(T ≤ -1) ≈ 0,17
  • Então, Valor-p ≈ 2 * 0,17 = 0,34
b) Inferior a 1,3 graus (teste unilateral):
  • Valor-p = P(T ≤ -1)
  • Como já vimos, P(T ≤ -1) ≈ 0,17

Resposta

(a)
  • Para testar se a média é igual a 1,3 graus, não rejeitamos a hipótese nula, pois o valor do teste está dentro da região de aceitação.
  • Para testar se a média é inferior a 1,3 graus, rejeitamos a hipótese nula, pois o valor do teste está na região de rejeição.
(b)
  • O valor-p para o teste de igualdade a 1,3 graus é aproximadamente 0,34.
  • O valor-p para o teste de inferioridade a 1,3 graus é aproximadamente 0,17.

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