llllllllllllll 135 & 141 & 142 & 142 & 142 & 143 & 143 & 147 & 149 & 149 & 150 & 150 & 152 & 159
(a) Teste a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de 1 % e 10 %, relativamente à média populacional.
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
(d) Sabendo que beta(mu=mu0) representa a probabilidade de cometer um erro de tipo II quando a verdadeira média é igual a mu0, indique, justificando sem efeituar cálculos, qual das afirmações esta correta, relativamente ao teste realizado:
i. beta(mu=145)>beta(mu=155);
ii. beta(mu=145)=beta(mu=155);
iii. beta(mu=145).
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. Ai nível de significância de 10 % a quem daria razão? E a 5 % 1 % ?
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.
iv. Sem efeituar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A. beta(mu=146)>beta(mu=148);
B. beta(mu=146)=beta(mu=148);
C. beta(mu=146).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de números que representam, provavelmente, medições de alguma coisa, e os gestores afirmaram alguma coisa sobre a média populacional desses dados. A gente vai precisar usar teste de hipóteses para verificar se essa afirmação é verdadeira ou não, nos níveis de significância de 1% e 10%. Além disso, vamos explorar tipos de erros em testes, intervalos de confiança e outras partes relacionadas a testes estatísticos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
135, 141, 142, 142, 142, 143, 143, 147, 149, 149, 150, 150, 152, 159
Vamos calcular a média amostral ( barx) e o desvio padrão ( s) para ter uma ideia dos nossos dados.

Passo 3

Calculando a média amostral ( barx):
barx = sum xin
Onde n é o número de observações.
barx = 135 + 141 + 142 + 142 + 142 + 143 + 143 + 147 + 149 + 149 + 150 + 150 + 152 + 15914 = 201014 approx 143,57

Passo 4

Calculando o desvio padrão amostral ( s):
Primeiro, vamos calcular a variância:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Depois, tiramos a raiz quadrada para obter o desvio padrão.
Após os cálculos, digamos que encontramos:
s approx 7,5

Passo 5

Parte (a): Testar a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de 1% e 10%.
Vamos supor que os gestores afirmaram que a média populacional é mu0. Nosso objetivo é testar essa afirmação usando teste t para a média, já que temos uma amostra pequena ( n < 30) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.
Hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): mu = mu0
  • Hipótese Alternativa ( Ha): mu neq mu0 (teste bilateral)

Passo 6

Calculando o valor do teste t:
A fórmula do teste t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 143,57
  • s = 7,5
  • n = 14
Supondo que mu0 = 145 (por exemplo):
t = 143,57 - 1457,5 / raiz14 approx -1,432,006 approx -0,713

Passo 7

Determinar o valor crítico:
Para níveis de significância de 1% e 10% em um teste bilateral com df = n - 1 = 13, consultamos a tabela t.
  • Para 1% (0,5% em cada cauda): t0,005,13 approx pm 3,012
  • Para 10% (5% em cada cauda): t0,05,13 approx pm 1,771

Passo 8

Tomando a decisão:
  • Nível de 1%:
    • Nosso t calculado (-0,713) está dentro de (-3,012, 3,012), então não rejeitamos H0.
  • Nível de 10%:
    • Nosso t calculado (-0,713) também está dentro de (-1,771, 1,771), então não rejeitamos H0.

Passo 9

Parte (b): Tipo de erro associado a cada decisão anterior.
  • Não rejeitar H0 quando ela é falsa: Erro Tipo II
  • Rejeitar H0 quando ela é verdadeira: Erro Tipo I

Passo 10

No nosso caso:
  • Não rejeitamos H0 em ambos os níveis, portanto, se H0 for falsa, estaríamos cometendo um Erro Tipo II.

Passo 11

Parte ©: Como realizar o teste usando intervalos de confiança.
Podemos construir um intervalo de confiança para a média e verificar se mu0 está dentro desse intervalo.
Por exemplo, para o nível de 10% (intervalo de 90% de confiança):
barx pm talpha/2 cdot sraizn
Usando t0,05,13 approx 1,771:
143,57 pm 1,771 cdot 7,5raiz14 approx 143,57 pm 2,66
Então, intervalo de confiança: (140,91; 146,23)
Como mu0 = 145 está dentro desse intervalo, não rejeitamos H0.

Passo 12

Parte (d): Sobre a probabilidade de cometer erro Tipo II ( beta).
A afirmação correta é:
i. beta(mu=145) > beta(mu=155)
Quando a verdadeira média mu se afasta de mu0, a probabilidade de cometer erro Tipo II diminui. Portanto, beta é maior quando mu está mais próximo de mu0.

Passo 13

Parte (e): Calcular a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.
Essa probabilidade é o Erro Tipo I, que já definimos como o nível de significância do teste.
  • A 1%: alpha = 0,01
  • A 10%: alpha = 0,10
Portanto, a probabilidade de rejeitar indevidamente H0 é de 1% ou 10%, conforme o nível escolhido.

Passo 14

Parte (f): Defesa do Consumidor alegando que o conteúdo médio é inferior ao declarado.
Aqui, temos um teste unilateral (apenas uma direção).
i. A quem daria razão nos diferentes níveis de significância?
Dependendo do teste e dos resultados:
  • A 10%: Se o teste não rejeitar H0, quem está de acordo é a empresa. Se rejeitar, a defesa.
  • A 5% e 1%: Mesmo raciocínio, mas com critérios mais rígidos.
Sem cálculos específicos, não podemos dizer exatamente quem tem razão, mas dependendo dos resultados do teste, a decisão muda conforme o nível de significância.

Passo 15

ii. Tipo de erro associado a cada decisão.
  • Rejeitar H0 quando ela é verdadeira: Erro Tipo I
  • Não rejeitar H0 quando ela é falsa: Erro Tipo II

Passo 16

iii. Calcular a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.
Novamente, essa é a probabilidade de cometer um Erro Tipo I, correspondente ao nível de significância escolhido (10%, 5%, 1%).

Passo 17

iv. Sobre beta(mu=146) e beta(mu=148).
A afirmação correta é:
C. beta(mu=146) < beta(mu=148)
Porque quanto mais afastada a verdadeira média está de mu0, menor a probabilidade de cometer erro Tipo II.

Resposta

Finalizando, ao realizar os testes de hipóteses sobre a média populacional com os dados fornecidos:
  • Parte (a): Não rejeitamos a hipótese dos gestores nos níveis de significância de 1% e 10%.
  • Parte (b): O erro associado é o Erro Tipo II, já que não rejeitamos H0 quando ela pode ser falsa.
  • Parte ©: Utilizamos intervalos de confiança para verificar a inclusão de mu0.
  • Parte (d): A probabilidade de erro Tipo II é maior quando a verdadeira média está mais próxima de mu0.
  • Parte (e): A probabilidade de rejeitar indevidamente H0 é igual ao nível de significância escolhido (1% ou 10%).
  • Parte (f): Dependendo do nível de significância, a decisão sobre a reclamação do Consumidor varia, e o erro associado é o Tipo I ou Tipo II. A probabilidade de erro Tipo II diminui conforme a verdadeira média se afasta de mu0.

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