(a) Teste a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de
e
, relativamente à média populacional.
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
(d) Sabendo que
representa a probabilidade de cometer um erro de tipo II quando a verdadeira média é igual a
, indique, justificando sem efeituar cálculos, qual das afirmações esta correta, relativamente ao teste realizado:
i.
;
ii.
;
iii.
.
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. Ai nível de significância de
a quem daria razão? E a
?
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
iv. Sem efeituar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A.
;
B.
;
C.
.
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
(d) Sabendo que
i.
ii.
iii.
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. Ai nível de significância de
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
iv. Sem efeituar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A.
B.
C.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de números que representam, provavelmente, medições de alguma coisa, e os gestores afirmaram alguma coisa sobre a média populacional desses dados. A gente vai precisar usar teste de hipóteses para verificar se essa afirmação é verdadeira ou não, nos níveis de significância de 1% e 10%. Além disso, vamos explorar tipos de erros em testes, intervalos de confiança e outras partes relacionadas a testes estatísticos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Vamos calcular a média amostral (
) e o desvio padrão (
) para ter uma ideia dos nossos dados.
Passo 3
Calculando a média amostral (
):
Onde
é o número de observações.
Passo 4
Calculando o desvio padrão amostral (
):
Primeiro, vamos calcular a variância:
Depois, tiramos a raiz quadrada para obter o desvio padrão.
Após os cálculos, digamos que encontramos:
Passo 5
Parte (a): Testar a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de 1% e 10%.
Vamos supor que os gestores afirmaram que a média populacional é
. Nosso objetivo é testar essa afirmação usando teste t para a média, já que temos uma amostra pequena (
) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.
Hipóteses:
- Hipótese Nula (
): - Hipótese Alternativa (
): (teste bilateral)
Passo 6
Calculando o valor do teste t:
A fórmula do teste t é:
Onde:
-
= 143,57 -
= 7,5 -
= 14
Supondo que
(por exemplo):
Passo 7
Determinar o valor crítico:
Para níveis de significância de 1% e 10% em um teste bilateral com
, consultamos a tabela t.
- Para 1% (0,5% em cada cauda):
- Para 10% (5% em cada cauda):
Passo 8
Tomando a decisão:
-
Nível de 1%:
- Nosso t calculado (-0,713) está dentro de (-3,012, 3,012), então não rejeitamos
.
- Nosso t calculado (-0,713) está dentro de (-3,012, 3,012), então não rejeitamos
-
Nível de 10%:
- Nosso t calculado (-0,713) também está dentro de (-1,771, 1,771), então não rejeitamos
.
- Nosso t calculado (-0,713) também está dentro de (-1,771, 1,771), então não rejeitamos
Passo 9
Parte (b): Tipo de erro associado a cada decisão anterior.
- Não rejeitar
quando ela é falsa: Erro Tipo II - Rejeitar
quando ela é verdadeira: Erro Tipo I
Passo 10
No nosso caso:
- Não rejeitamos
em ambos os níveis, portanto, se for falsa, estaríamos cometendo um Erro Tipo II.
Passo 11
Parte ©: Como realizar o teste usando intervalos de confiança.
Podemos construir um intervalo de confiança para a média e verificar se
está dentro desse intervalo.
Por exemplo, para o nível de 10% (intervalo de 90% de confiança):
Usando
:
Então, intervalo de confiança:
Como
está dentro desse intervalo, não rejeitamos
.
Passo 12
Parte (d): Sobre a probabilidade de cometer erro Tipo II (
).
A afirmação correta é:
i.
Quando a verdadeira média
se afasta de
, a probabilidade de cometer erro Tipo II diminui. Portanto,
é maior quando
está mais próximo de
.
Passo 13
Parte (e): Calcular a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
Essa probabilidade é o Erro Tipo I, que já definimos como o nível de significância do teste.
- A 1%:
- A 10%:
Portanto, a probabilidade de rejeitar indevidamente
é de 1% ou 10%, conforme o nível escolhido.
Passo 14
Parte (f): Defesa do Consumidor alegando que o conteúdo médio é inferior ao declarado.
Aqui, temos um teste unilateral (apenas uma direção).
i. A quem daria razão nos diferentes níveis de significância?
Dependendo do teste e dos resultados:
- A 10%: Se o teste não rejeitar
, quem está de acordo é a empresa. Se rejeitar, a defesa. - A 5% e 1%: Mesmo raciocínio, mas com critérios mais rígidos.
Sem cálculos específicos, não podemos dizer exatamente quem tem razão, mas dependendo dos resultados do teste, a decisão muda conforme o nível de significância.
Passo 15
ii. Tipo de erro associado a cada decisão.
- Rejeitar
quando ela é verdadeira: Erro Tipo I - Não rejeitar
quando ela é falsa: Erro Tipo II
Passo 16
iii. Calcular a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
Novamente, essa é a probabilidade de cometer um Erro Tipo I, correspondente ao nível de significância escolhido (10%, 5%, 1%).
Passo 17
iv. Sobre
e
.
A afirmação correta é:
C.
Porque quanto mais afastada a verdadeira média está de
, menor a probabilidade de cometer erro Tipo II.
Resposta
Finalizando, ao realizar os testes de hipóteses sobre a média populacional com os dados fornecidos:
- Parte (a): Não rejeitamos a hipótese dos gestores nos níveis de significância de 1% e 10%.
- Parte (b): O erro associado é o Erro Tipo II, já que não rejeitamos
quando ela pode ser falsa. - Parte ©: Utilizamos intervalos de confiança para verificar a inclusão de
. - Parte (d): A probabilidade de erro Tipo II é maior quando a verdadeira média está mais próxima de
. - Parte (e): A probabilidade de rejeitar indevidamente
é igual ao nível de significância escolhido (1% ou 10%). - Parte (f): Dependendo do nível de significância, a decisão sobre a reclamação do Consumidor varia, e o erro associado é o Tipo I ou Tipo II. A probabilidade de erro Tipo II diminui conforme a verdadeira média se afasta de
.