Numa aula de Estatística Econômica II, existem 10 estudantes inscritos, dos quais 3 tem 19 anos, 4 tem 20 anos, 1 tem 21 anos, 1 tem 24 anos e 1 tem 26 anos. Foram selecionados dois estudantes ao acaso e sem substituição. Se é definido a variável aleatória a idade média dos dois estudantes selecionados. Encontre a função de distribuição de probabilidade.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma turma com 10 estudantes, cada um com uma idade específica. Precisamos selecionar dois estudantes aleatoriamente, sem reposição, e calcular a distribuição de probabilidade para a variável aleatória que representa a idade média desses dois estudantes. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade combinatória e variáveis aleatórias.
Passo 2
Vamos calcular o número total de maneiras de selecionar 2 estudantes dentre 10. Isso é dado pela combinação:
Então, existem 45 combinações possíveis de seleção.
Passo 3
Agora, vamos identificar todas as possíveis idades médias que podem surgir ao selecionar dois estudantes. As idades disponíveis são 19, 20, 21, 24 e 26 anos. A idade média de dois estudantes será a média aritmética das suas idades.
Passo 4
Vamos listar todas as combinações possíveis de duas idades e calcular suas médias:
- 19 e 19: média = 19
- 19 e 20: média = 19.5
- 19 e 21: média = 20
- 19 e 24: média = 21.5
- 19 e 26: média = 22.5
- 20 e 20: média = 20
- 20 e 21: média = 20.5
- 20 e 24: média = 22
- 20 e 26: média = 23
- 21 e 24: média = 22.5
- 21 e 26: média = 23.5
- 24 e 26: média = 25
Passo 5
Agora, vamos contar quantas vezes cada média aparece nas combinações:
- 19: 1 vez
- 19.5: 2 vezes
- 20: 3 vezes
- 20.5: 2 vezes
- 21.5: 1 vez
- 22: 2 vezes
- 22.5: 2 vezes
- 23: 2 vezes
- 23.5: 1 vez
- 25: 1 vez
Passo 6
Com essas contagens, podemos calcular a probabilidade de cada média dividindo o número de vezes que ela ocorre pelo total de combinações (45):
Passo 7
Aplicando isso, temos:
Resposta
A função de distribuição de probabilidade para a idade média dos dois estudantes selecionados é:
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