Numa aula de Estatística Econômica II, existem 10 estudantes inscritos, dos quais 3 tem 19 anos, 4 tem 20 anos, 1 tem 21 anos, 1 tem 24 anos e 1 tem 26 anos. Foram selecionados dois estudantes ao acaso e sem substituição. Se é definido a variável aleatória a idade média dos dois estudantes selecionados. Encontre a função de distribuição de probabilidade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma turma com 10 estudantes, cada um com uma idade específica. Precisamos selecionar dois estudantes aleatoriamente, sem reposição, e calcular a distribuição de probabilidade para a variável aleatória que representa a idade média desses dois estudantes. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade combinatória e variáveis aleatórias.

Passo 2

Vamos calcular o número total de maneiras de selecionar 2 estudantes dentre 10. Isso é dado pela combinação:
C(10, 2) = 10!2!(10-2)! = 45
Então, existem 45 combinações possíveis de seleção.

Passo 3

Agora, vamos identificar todas as possíveis idades médias que podem surgir ao selecionar dois estudantes. As idades disponíveis são 19, 20, 21, 24 e 26 anos. A idade média de dois estudantes será a média aritmética das suas idades.

Passo 4

Vamos listar todas as combinações possíveis de duas idades e calcular suas médias:
  • 19 e 19: média = 19
  • 19 e 20: média = 19.5
  • 19 e 21: média = 20
  • 19 e 24: média = 21.5
  • 19 e 26: média = 22.5
  • 20 e 20: média = 20
  • 20 e 21: média = 20.5
  • 20 e 24: média = 22
  • 20 e 26: média = 23
  • 21 e 24: média = 22.5
  • 21 e 26: média = 23.5
  • 24 e 26: média = 25

Passo 5

Agora, vamos contar quantas vezes cada média aparece nas combinações:
  • 19: 1 vez
  • 19.5: 2 vezes
  • 20: 3 vezes
  • 20.5: 2 vezes
  • 21.5: 1 vez
  • 22: 2 vezes
  • 22.5: 2 vezes
  • 23: 2 vezes
  • 23.5: 1 vez
  • 25: 1 vez

Passo 6

Com essas contagens, podemos calcular a probabilidade de cada média dividindo o número de vezes que ela ocorre pelo total de combinações (45):
P(média) = número de ocorrências45 éúê

Passo 7

Aplicando isso, temos:

Resposta

A função de distribuição de probabilidade para a idade média dos dois estudantes selecionados é:
c|c Idade Média & P(Idade Média) hline 19 & 145 19.5 & 245 20 & 115 20.5 & 245 21.5 & 145 22 & 245 22.5 & 245 23 & 245 23.5 & 145 25 & 145 éé

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