O Departamento de Economia é formado por 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Uma comissão de 5 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória : número de homens na comissão. Determine:
valor esperado e a variância da variável

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um departamento com 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Queremos formar uma comissão de 5 professores escolhendo, ao acaso, 3 membros do departamento. A variável aleatória representa o número de homens nessa comissão. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado ( ) e a variância ( ) da variável .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação para calcular probabilidades e as propriedades do valor esperado e da variância para variáveis aleatórias lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição da variável , que representa o número de homens na comissão de 3 membros selecionados.
Como temos 11 homens e 4 mulheres, o total de professores é 15. Estamos escolhendo 3 professores sem reposição, então a situação pode ser modelada por uma distribuição hipergeométrica.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
onde pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado da variável . Para uma distribuição hipergeométrica, o valor esperado é dado por:
onde:
  • (número de professores selecionados),
  • (número total de homens),
  • (número total de professores).
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a variância da variável . Para a distribuição hipergeométrica, a variância é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando passo a passo:

Passo 5

Agora que temos e , vamos encontrar o valor esperado e a variância da variável .
Usamos as propriedades do valor esperado e da variância para funções lineares:
onde e .
Calculando :
Calculando :

Resposta

O valor esperado de é e a variância de é .

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