O Departamento de Economia é formado por 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Uma comissão de 5 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória
: número de homens na comissão. Determine:
valor esperado e a variância da variável
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um departamento com 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Queremos formar uma comissão de 5 professores escolhendo, ao acaso, 3 membros do departamento. A variável aleatória
representa o número de homens nessa comissão. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado (
) e a variância (
) da variável
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação para calcular probabilidades e as propriedades do valor esperado e da variância para variáveis aleatórias lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição da variável
, que representa o número de homens na comissão de 3 membros selecionados.
Como temos 11 homens e 4 mulheres, o total de professores é 15. Estamos escolhendo 3 professores sem reposição, então a situação pode ser modelada por uma distribuição hipergeométrica.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
onde
pode ser 0, 1, 2 ou 3.
Passo 3
Vamos calcular o valor esperado
da variável
. Para uma distribuição hipergeométrica, o valor esperado é dado por:
onde:
-
(número de professores selecionados), -
(número total de homens), -
(número total de professores).
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a variância
da variável
. Para a distribuição hipergeométrica, a variância é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando passo a passo:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos encontrar o valor esperado e a variância da variável
.
Usamos as propriedades do valor esperado e da variância para funções lineares:
onde
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
O valor esperado de
é
e a variância de
é
.
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