O Departamento de Economia é formado por 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Uma comissão de 5 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória X : número de homens na comissão. Determine:
O valor esperado e a variância da variável Y=3+4 X

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um departamento com 15 professores, sendo 11 homens e 4 mulheres. Queremos formar uma comissão de 5 professores escolhendo, ao acaso, 3 membros do departamento. A variável aleatória representa o número de homens nessa comissão. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado ( ) e a variância ( ) da variável .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação para calcular probabilidades e as propriedades do valor esperado e da variância para variáveis aleatórias lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição da variável P(X = k) = dbinom11k dbinom43 - kdbinom153 , que representa o número de homens na comissão de 3 membros selecionados.
Como temos 11 homens e 4 mulheres, o total de professores é 15. Estamos escolhendo 3 professores sem reposição, então a situação pode ser modelada por uma distribuição hipergeométrica.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
onde pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado E(X) = n cdot KN da variável E(X) = 3 cdot 1115 = 3315 = 2,2 . Para uma distribuição hipergeométrica, o valor esperado é dado por:
onde:
  • (número de professores selecionados),
  • (número total de homens),
  • (número total de professores).
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a variância Var(X) = n cdot KN cdot (1 - KN) cdot N - nN - 1 da variável Var(X) = 3 cdot 1115 cdot (1 - 1115) cdot 15 - 315 - 1 . Para a distribuição hipergeométrica, a variância é dada por:
Var(X) = 3 cdot 1115 cdot 415 cdot 1214
Substituindo os valores:
Var(X) = 3 cdot 44225 cdot 1214
Simplificando passo a passo:
Var(X) = 3 cdot 44 cdot 12225 cdot 14
Var(X) = 3 cdot 5283150
Var(X) = 15843150 approx 0,5038

Passo 5

Agora que temos E(Y) = a + bE(X) e Var(Y) = b^2 Var(X) , vamos encontrar o valor esperado e a variância da variável E(Y) = 3 + 4 cdot 2,2 = 3 + 8,8 = 11,8 .
Usamos as propriedades do valor esperado e da variância para funções lineares:
Var(Y) = 4^2 cdot 0,5038 = 16 cdot 0,5038 approx 8,06
onde e .
Calculando :
Calculando :

Resposta

O valor esperado de é e a variância de é .

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