O Departamento de Economia é formado por 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. Uma comissão de 4 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória X : número de mulheres na comissão. Determine:
A probabilidade a comissão ser formada por pelo menos duas mulheres.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um departamento com 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. Queremos formar uma comissão de 3 professores escolhidos aleatoriamente e determinar a probabilidade de que, nessa comissão, haja pelo menos duas mulheres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que nos ajudam a calcular as diferentes maneiras de selecionar grupos a partir de um conjunto maior.

Passo 2

Vamos calcular o número total de maneiras de formar uma comissão de 3 professores a partir dos 10 disponíveis. Isso é dado por uma combinação, já que a ordem dos selecionados não importa. Usamos a fórmula da combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • C(10, 3) = 10!3!(10 - 3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120 (total de professores)
  • (número de professores na comissão)
Calculando:
Então, existem 120 maneiras diferentes de formar a comissão.

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas dessas comissões há pelo menos duas mulheres. Isso significa que pode haver exatamente duas mulheres ou exatamente três mulheres na comissão.
  • Caso 1: Exatamente duas mulheres
Aqui, selecionamos 2 mulheres das 2 disponíveis e 1 homem dos 8 disponíveis.
C(2, 2) times C(8, 1) = 1 times 8 = 8
  • Caso 2: Exatamente três mulheres
Como temos apenas 2 mulheres no total, não é possível ter uma comissão com 3 mulheres. Portanto, esse caso não existe.
Portanto, há 8 comissões que atendem à condição de ter pelo menos duas mulheres.

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de que a comissão tenha pelo menos duas mulheres, dividimos o número de comissões favoráveis pelo número total de comissões possíveis.
P(pelo menos duas mulheres) = Comissões favoráveisTotal de comissões = 8120 = 115 approx 0,0667 õáõ

Resposta

A probabilidade de que a comissão seja formada por pelo menos duas mulheres é aproximadamente ou .

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