An automatic filling machine is used to fill bottles with liquid detergent. A random sample of 20 bottles results in a sample variance of fill volume of s^2=0.0153^2. Assume that the fill volume is approximately normal. Compute a 95 % upper confidence bound (limite superior de confiança).
chi(n-1 ; alpha)^2=chi(19 ; 0,95)^2=10.117

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício onde temos uma máquina que enche garrafas com detergente líquido. Fizemos uma amostra aleatória de 20 garrafas e calculamos a variância amostral do volume de enchimento, que é . Sabemos que o volume de enchimento segue uma distribuição aproximadamente normal. Nosso objetivo é calcular um limite superior de confiança de 95% para o volume de enchimento. Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para variância usando a distribuição Qui-Quadrado ( ).

Passo 2

Fórmula do Limite Superior de Confiança
Para calcular o limite superior de confiança para a variância ( sigma^2 <= (n - 1) s^2chi^2alpha; n-1 ), usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o tamanho da amostra.
  • é a variância amostral.
  • é o valor crítico da distribuição Qui-Quadrado para nível de confiança e graus de liberdade.

Passo 3

Identificando os Valores Conhecidos
Vamos identificar os valores que já temos:
  • Tamanho da amostra:
  • Variância amostral:
  • Valor crítico da distribuição Qui-Quadrado:

Passo 4

Aplicando a Fórmula
Substituindo os valores na fórmula do limite superior de confiança:
sigma^2 <= (20 - 1) times 0,0002340910,117

Passo 5

Realizando os Cálculos
Primeiro, calculamos o numerador:
19 times 0,00023409 = 0,00444771
Agora, dividimos pelo valor crítico da Qui-Quadrado:
sigma^2 <= 0,0044477110,117 approx 0,000439

Passo 6

Interpretando o Resultado
O limite superior de confiança para a variância do volume de enchimento é aproximadamente . Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira variância do volume de enchimento não excede esse valor.

Resposta

O limite superior de confiança de 95% para a variância do volume de enchimento é aproximadamente .

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