An automatic filling machine is used to fill bottles with liquid detergent. A random sample of 20 bottles results in a sample variance of fill volume of
. Assume that the fill volume is approximately normal. Compute a
upper confidence bound (limite superior de confiança).
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício onde temos uma máquina que enche garrafas com detergente líquido. Fizemos uma amostra aleatória de 20 garrafas e calculamos a variância amostral do volume de enchimento, que é
. Sabemos que o volume de enchimento segue uma distribuição aproximadamente normal. Nosso objetivo é calcular um limite superior de confiança de 95% para o volume de enchimento. Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para variância usando a distribuição Qui-Quadrado (
).
Passo 2
Fórmula do Limite Superior de Confiança
Para calcular o limite superior de confiança para a variância (
), usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o tamanho da amostra. -
é a variância amostral. -
é o valor crítico da distribuição Qui-Quadrado para nível de confiança e graus de liberdade.
Passo 3
Identificando os Valores Conhecidos
Vamos identificar os valores que já temos:
- Tamanho da amostra:
- Variância amostral:
- Valor crítico da distribuição Qui-Quadrado:
Passo 4
Aplicando a Fórmula
Substituindo os valores na fórmula do limite superior de confiança:
Passo 5
Realizando os Cálculos
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, dividimos pelo valor crítico da Qui-Quadrado:
Passo 6
Interpretando o Resultado
O limite superior de confiança para a variância do volume de enchimento é aproximadamente
. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira variância do volume de enchimento não excede esse valor.
Resposta
O limite superior de confiança de 95% para a variância do volume de enchimento é aproximadamente
.