Seja as vendas (em
) durante e após a crise de 2008 duas variáveis aleatórias Gaussianas
e
com variâncias populacionais desconhecidas. Construia dois intervalos de 95% de confiança para a diferença das vendas (médias populacionais), um intervalo para o caso em que
e um intervalo para o caso em que
, considerando as amostras obtidas apresentadas na tabela abaixo:
VENDAS DURANTE A CRISE |
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VENDAS DEPOIS DA CRISE |
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar as vendas durante e depois da crise de 2008. Temos duas variáveis aleatórias que seguem uma distribuição Gaussiana (ou normal) e queremos construir intervalos de confiança de 95% para a diferença das médias dessas vendas. Para isso, precisamos saber se as variâncias das duas populações são iguais ou não. Vamos usar os dados da tabela para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo onde acreditamos que a verdadeira diferença das médias está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%). Para construir esses intervalos, precisamos usar a distribuição t de Student porque as variâncias populacionais são desconhecidas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança assumindo que as variâncias são iguais (
). Quando as variâncias são iguais, usamos a variância combinada (ou pooled). A fórmula para o intervalo é:
Onde:
-
é a variância combinada. -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado.
Passo 4
Vamos calcular
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, encontramos o valor crítico
. Como estamos com 95% de confiança e os graus de liberdade são
, olhamos na tabela t e encontramos que
.
Passo 6
Vamos montar o intervalo de confiança:
Calculando o termo dentro da raiz:
Agora, multiplicando:
Então, o intervalo fica:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos construir o intervalo de confiança sem assumir que as variâncias são iguais (
). Para isso, usamos a fórmula do intervalo com variâncias não iguais, também conhecida como intervalo de Welch:
Onde
são os graus de liberdade calculados com a fórmula de Welch:
Passo 8
Vamos calcular os graus de liberdade
:
Arredondamos para 67 graus de liberdade.
Passo 9
Encontramos o valor crítico
(usando tabela t).
Passo 10
Agora, vamos montar o intervalo de confiança:
Calculando dentro da raiz:
Multiplicando:
Então, o intervalo fica:
Resposta
Dois intervalos de confiança de 95% para a diferença das médias das vendas são:
- Assumindo variâncias iguais (
): - Assumindo variâncias diferentes (
):