Seja as vendas (em R ) durante e após a crise de 2008 duas variáveis aleatórias Gaussianas ) durante e após a crise de 2008 duas variáveis a<=atórias Gaussianas e e com variâncias populacionais desconhecidas. Construia dois intervalos de 95% de confiança para a diferença das vendas (médias populacionais), um intervalo para o caso em que com variâncias populacionais desconhecidas Construia dois intervalos de 95% de confiança para a diferença das vendas (médias populacionais), um intervalo para o caso em que e um intervalo para o caso em que e um intervalo para o caso em que , considerando as amostras obtidas apresentadas na tabela abaixo:
VENDAS DURANTE A CRISE , considerando as amostras obtidas apresentadas na tabela abaixo: | VENDAS DURANTE A CRISE | | |
VENDAS DEPOIS DA CRISE | | :--- | :--- | :--- | :--- | | VENDAS DEPOIS DA CRISE | | |

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar as vendas durante e depois da crise de 2008. Temos duas variáveis aleatórias que seguem uma distribuição Gaussiana (ou normal) e queremos construir intervalos de confiança de 95% para a diferença das médias dessas vendas. Para isso, precisamos saber se as variâncias das duas populações são iguais ou não. Vamos usar os dados da tabela para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo onde acreditamos que a verdadeira diferença das médias está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%). Para construir esses intervalos, precisamos usar a distribuição t de Student porque as variâncias populacionais são desconhecidas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança assumindo que as variâncias são iguais ( sigma1^2 = sigma2^2). Quando as variâncias são iguais, usamos a variância combinada (ou pooled). A fórmula para o intervalo é:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 cdot Sp cdot raiz1n1 + 1n2
Onde:
  • Sp é a variância combinada.
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado.

Passo 4

Vamos calcular Sp:
Sp = raiz(n1 - 1)S1^2 + (n2 - 1)S2^2n1 + n2 - 2
Substituindo os valores:
Sp = raiz(30 - 1) cdot 3,50 + (42 - 1) cdot 4,5030 + 42 - 2 = raiz29 cdot 3,50 + 41 cdot 4,5070 = raiz101,5 + 184,570 = raiz28670 approx raiz4,0857 approx 2,02

Passo 5

Agora, encontramos o valor crítico talpha/2. Como estamos com 95% de confiança e os graus de liberdade são n1 + n2 - 2 = 70, olhamos na tabela t e encontramos que t0,025, 70 approx 1,994.

Passo 6

Vamos montar o intervalo de confiança:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 cdot Sp cdot raiz1n1 + 1n2 = (20,20 - 28,50) pm 1,994 cdot 2,02 cdot raiz130 + 142
Calculando o termo dentro da raiz:
raiz130 + 142 = raiz0,0333 + 0,0238 = raiz0,0571 approx 0,239
Agora, multiplicando:
1,994 cdot 2,02 cdot 0,239 approx 0,964
Então, o intervalo fica:
(20,20 - 28,50) pm 0,964 Rightarrow -8,30 pm 0,964
Portanto:
[-9,264 ; -7,336]

Passo 7

Agora, vamos construir o intervalo de confiança sem assumir que as variâncias são iguais ( sigma1^2 neq sigma2^2). Para isso, usamos a fórmula do intervalo com variâncias não iguais, também conhecida como intervalo de Welch:
(barX1 - barX2) pm talpha/2, nu cdot raizS1^2n1 + S2^2n2
Onde nu são os graus de liberdade calculados com a fórmula de Welch:
nu = (S1^2n1 + S2^2n2)^2(S1^2n1)^2n1 - 1 + (S2^2n2)^2n2 - 1

Passo 8

Vamos calcular os graus de liberdade nu:
nu = (3,5030 + 4,5042)^2(3,5030)^229 + (4,5042)^241 = (0,1167 + 0,1071)^20,013629 + 0,011441 = (0,2238)^20,00047 + 0,00028 = 0,05010,00075 approx 66,8
Arredondamos para 67 graus de liberdade.

Passo 9

Encontramos o valor crítico talpha/2, 67 approx 1,998 (usando tabela t).

Passo 10

Agora, vamos montar o intervalo de confiança:
(barX1 - barX2) pm talpha/2, nu cdot raizS1^2n1 + S2^2n2 = (20,20 - 28,50) pm 1,998 cdot raiz3,5030 + 4,5042
Calculando dentro da raiz:
raiz3,5030 + 4,5042 = raiz0,1167 + 0,1071 = raiz0,2238 approx 0,473
Multiplicando:
1,998 cdot 0,473 approx 0,945
Então, o intervalo fica:
-8,30 pm 0,945 Rightarrow [-9,245 ; -7,355]

Resposta

Dois intervalos de confiança de 95% para a diferença das médias das vendas são:
  1. Assumindo variâncias iguais ( sigma1^2 = sigma2^2): [-9,264 ; -7,336]
  2. Assumindo variâncias diferentes ( sigma1^2 neq sigma2^2): [-9,245 ; -7,355]

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