Deseja-se obter a proporção de estudantes de Economia e Administração portadores de habilidades intrínsecas de gestão e liderança. Retira-se uma amostra de 400 estudantes, obtendo-se 8 portadores de tais habilidades. Determine um intervalo de confiabilidade de 99% e um intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional.
Interprete os intervalos.
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a proporção de estudantes de Economia e Administração que possuem habilidades intrínsecas de gestão e liderança. Para isso, foi retirada uma amostra de 400 estudantes, e desses, 8 têm essas habilidades. Nosso objetivo é determinar intervalos de confiança de 99% e 95% para a proporção populacional.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para proporção e os valores de Z (que são valores da tabela normal) correspondentes aos níveis de confiança de 99% e 95%.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. Isso é simplesmente o número de estudantes com as habilidades desejadas dividido pelo total da amostra.
Então, nossa proporção amostral (
) é 0,02, ou seja, 2%.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da proporção amostral (
). A fórmula para isso é:
Onde:
-
é a proporção amostral (0,02), -
é o tamanho da amostra (400).
Vamos calcular:
Então,
é aproximadamente 0,007.
Passo 4
Com a proporção amostral e o desvio padrão calculados, podemos agora determinar o intervalo de confiança de 99%. A fórmula geral do intervalo de confiança é:
Para um nível de confiança de 99%, o valor de
é 2,57.
Vamos calcular:
Isso dá um intervalo de:
Ou seja, entre 0,2% e 3,8%.
Passo 5
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% usando a mesma fórmula. Para 95%, o valor de
é 1,96.
Aplicando na fórmula:
Isso resulta em:
Arredondando, temos um intervalo de aproximadamente 0,6% a 3,4%.
Resposta
O intervalo de confiança para a proporção populacional é:
- 99% de confiança: entre 0,2% e 3,8%.
- 95% de confiança: entre 0,6% e 3,4%.