Deseja-se obter a proporção de estudantes de Economia e Administração portadores de habilidades intrínsecas de gestão e liderança. Retira-se uma amostra de 400 estudantes, obtendo-se 8 portadores de tais habilidades. Determine um intervalo de confiabilidade de 99% e um intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional.
& P(p-Z alpha / 2 sigmap
Interprete os intervalos. Z0,5 %=2,57 ; Z2,5 %=1,96

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a proporção de estudantes de Economia e Administração que possuem habilidades intrínsecas de gestão e liderança. Para isso, foi retirada uma amostra de 400 estudantes, e desses, 8 têm essas habilidades. Nosso objetivo é determinar intervalos de confiança de 99% e 95% para a proporção populacional.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para proporção e os valores de Z (que são valores da tabela normal) correspondentes aos níveis de confiança de 99% e 95%.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. Isso é simplesmente o número de estudantes com as habilidades desejadas dividido pelo total da amostra.
p = 8400 = 0,02
Então, nossa proporção amostral ( ) é 0,02, ou seja, 2%.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da proporção amostral ( sigmap = raizp(1 - p)n ). A fórmula para isso é:
sigmap = raiz0,02 times 0,98400 = raiz0,0196400 = raiz0,000049 approx 0,007
Onde:
  • é a proporção amostral (0,02),
  • é o tamanho da amostra (400).
Vamos calcular:
Então, é aproximadamente 0,007.

Passo 4

Com a proporção amostral e o desvio padrão calculados, podemos agora determinar o intervalo de confiança de 99%. A fórmula geral do intervalo de confiança é:
p pm Zalpha/2 times sigmap
Para um nível de confiança de 99%, o valor de 0,02 pm 2,57 times 0,007 = 0,02 pm 0,018 é 2,57.
Vamos calcular:
(0,02 - 0,018, , 0,02 + 0,018) = (0,002, , 0,038)
Isso dá um intervalo de:
Ou seja, entre 0,2% e 3,8%.

Passo 5

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% usando a mesma fórmula. Para 95%, o valor de 0,02 pm 1,96 times 0,007 = 0,02 pm 0,01372 é 1,96.
Aplicando na fórmula:
(0,02 - 0,01372, , 0,02 + 0,01372) = (0,00628, , 0,03372)
Isso resulta em:
Arredondando, temos um intervalo de aproximadamente 0,6% a 3,4%.

Resposta

O intervalo de confiança para a proporção populacional é:
  • 99% de confiança: entre 0,2% e 3,8%.
  • 95% de confiança: entre 0,6% e 3,4%.

Exercícios relacionados