Um automorfismo de um anel A é um isomorfismo f: A A. Sendo f: Q Q é um automorfismo, mostre que
  • Se f(1)=a então a=1;
  • que f(n)=n para todo n in N;
  • que f(m)=m para todo m in Z
  • Mostre que f(mn)=mn.
  • Conclua que f(x)=x é o único automorfismo de Q.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre automorfismos de anéis, que são funções bijetivas que preservam as operações de adição e multiplicação dentro de um anel. No nosso caso, o anel é Q, o conjunto dos números racionais. Precisamos mostrar que a única forma de automorfismo nesse anel é a função identidade, ou seja, f(x) = x. Para isso, vamos precisar entender como essas funções agem sobre os números inteiros e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que f é um automorfismo de Q e que f(1) = a. Como f preserva a estrutura do anel, ele deve preservar a multiplicação. Sabemos que 1 é o elemento neutro da multiplicação em Q, então temos:
f(1 cdot 1) = f(1) cdot f(1)
f(1) = a cdot a
a = a^2
Resolvendo a = a^2, temos duas soluções possíveis: a = 0 ou a = 1. Porém, f é um isomorfismo, o que significa que é bijetivo e, portanto, f(1) não pode ser 0 (pois isso destruiria a estrutura multiplicativa). Logo, a = 1.

Passo 3

Agora que sabemos que f(1) = 1, vamos mostrar que f(n) = n para todo n in N. Usando a propriedade de preservação da adição, temos:
f(n) = f(1 + 1 + dots + 1) ($n$ vezes)
f(n) = f(1) + f(1) + dots + f(1) ($n$ vezes)
f(n) = 1 + 1 + dots + 1 = n

Passo 4

Agora, vamos estender isso para todos os inteiros m in Z. Se m é um inteiro negativo, digamos m = -k onde k in N, então:
f(m) = f(-k) = -f(k) = -k = m
Portanto, f(m) = m para todo m in Z.

Passo 5

Finalmente, vamos mostrar que f(mn) = mn para todo mn in Q. Sabemos que:
f(mn) = f(m) cdot f(1n)
Já que f(m) = m, fica:
f(mn) = m cdot f(1n)
Além disso, como f é um homomorfismo, deve preservar os inversos multiplicativos:
f(1n) = 1f(n) = 1n
Portanto:
f(mn) = m cdot 1n = mn

Resposta

Concluímos que o único automorfismo de Q é a função identidade, ou seja, f(x) = x para todo x in Q.

Exercícios relacionados

Em cada item, considerando os anéis indicados com suas operações usuais, verifique:
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique f, entre monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo de anéis.
(d) No caso de f ser um isomorfismo de anéis, encontre o homomorfismo inverso f^-1.
  1. f: Z times Z Z definida por f(x, y)=y-x
  2. f: Z Z times Z definida por f(x)=(2 x, 3 x);
  3. f: Q[raiz2] Q[raiz2] definida por f(a+b raiz2)=b-a raiz2;
  4. f: Q[raiz2] Q[raiz3] definida por f(a+b raiz2)=a+b raiz3;
  5. f: C M2(R) definida por f(a+b i)=[cca & -b b & a];
  6. f: R times R M3(R) definida por f(x, y)=[lllx & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & y];
  7. f: Z Z12 definida por f(x)=barx;
  8. f: Z8 Z2 times Z4 definida por f(barx)=(barx, barx);
  9. f: R times R C definida por f(a, b)=a+b i.
Mostre que se f: A B é um isomorfismo de anéis, então a função inversa, f^-1: B A também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se f é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que f^-1 existe. Resta provar que f^-1 satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.
Seja g: Z2 times Z3 Z6 definida por g(bara, barb)=3 a+4 b. Mostre que
  1. g está bem definida;
  2. g é um homorfismo de anéis;
  3. g é injetora;
  4. g é sobrejetora;
  5. g é a inversa da f dada no Exemplo 6. (Ou seja, mostre que f circ g(x)=x e g circ f(y)=y para todo x in Z2 times Z3 e todo y in Z6.)
Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^n, n in N, n >= 1.