Um automorfismo de um anel é um isomorfismo . Sendo é um automorfismo, mostre que
Se então ;
que para todo ;
que para todo
Mostre que .
Conclua que é o único automorfismo de .
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre automorfismos de anéis, que são funções bijetivas que preservam as operações de adição e multiplicação dentro de um anel. No nosso caso, o anel é , o conjunto dos números racionais. Precisamos mostrar que a única forma de automorfismo nesse anel é a função identidade, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como essas funções agem sobre os números inteiros e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que é um automorfismo de e que . Como preserva a estrutura do anel, ele deve preservar a multiplicação. Sabemos que é o elemento neutro da multiplicação em , então temos:
Resolvendo , temos duas soluções possíveis: ou . Porém, é um isomorfismo, o que significa que é bijetivo e, portanto, não pode ser (pois isso destruiria a estrutura multiplicativa). Logo, .
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos mostrar que para todo . Usando a propriedade de preservação da adição, temos:
Passo 4
Agora, vamos estender isso para todos os inteiros . Se é um inteiro negativo, digamos onde , então:
Portanto, para todo .
Passo 5
Finalmente, vamos mostrar que para todo . Sabemos que:
Já que , fica:
Além disso, como é um homomorfismo, deve preservar os inversos multiplicativos:
Portanto:
Resposta
Concluímos que o único automorfismo de é a função identidade, ou seja, para todo .