Em cada item, considerando os anéis indicados com suas operações usuais, verifique:
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique f, entre monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo de anéis.
(d) No caso de f ser um isomorfismo de anéis, encontre o homomorfismo inverso f^-1.
  1. f: Z times Z Z definida por f(x, y)=y-x
  2. f: Z Z times Z definida por f(x)=(2 x, 3 x);
  3. f: Q[raiz2] Q[raiz2] definida por f(a+b raiz2)=b-a raiz2;
  4. f: Q[raiz2] Q[raiz3] definida por f(a+b raiz2)=a+b raiz3;
  5. f: C M2(R) definida por f(a+b i)=[cca & -b b & a];
  6. f: R times R M3(R) definida por f(x, y)=[lllx & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & y];
  7. f: Z Z12 definida por f(x)=barx;
  8. f: Z8 Z2 times Z4 definida por f(barx)=(barx, barx);
  9. f: R times R C definida por f(a, b)=a+b i.

Passo 1

Vamos analisar o exercício onde temos o anel com as operações usuais (soma e multiplicação componente a componente) e o anel com as operações habituais dos inteiros. A função dada é . O conteúdo principal aqui é entender homomorfismos de anéis, que são funções que respeitam as estruturas de soma e multiplicação dos anéis.
Para resolver este exercício, precisaremos verificar se é um homomorfismo de anéis, calcular seu núcleo e imagem caso seja homomorfismo, classificar (se é monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo) e, se for um isomorfismo, encontrar seu inverso.

Passo 2

Verificando se f((x1, y1) + (x2, y2)) = f(x1 + x2, y1 + y2) = (y1 + y2) - (x1 + x2) = (y1 - x1) + (y2 - x2) = f(x1, y1) + f(x2, y2) é um homomorfismo de anéis:
Um homomorfismo de anéis f((x1, y1) cdot (x2, y2)) = f(x1 x2, y1 y2) = y1 y2 - x1 x2 deve satisfazer duas condições principais:
  1. Preservação da adição: Para todos f(x1, y1) cdot f(x2, y2) = (y1 - x1)(y2 - x2) = y1 y2 - y1 x2 - x1 y2 + x1 x2 , .
  2. Preservação da multiplicação: Para todos , .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
1. Preservação da adição:
Sejam e elementos de .
Portanto, preserva a adição.
2. Preservação da multiplicação:
Por outro lado,
Comparando as duas expressões, vemos que em geral. Portanto, não preserva a multiplicação.

Passo 3

Como não preserva a multiplicação, ele não é um homomorfismo de anéis. Portanto, não precisamos calcular o núcleo, a imagem ou classificá-lo como monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo.

Resposta

Para o mapeamento definido por :
a) não é um homomorfismo de anéis.

Exercícios relacionados

Mostre que se f: A B é um isomorfismo de anéis, então a função inversa, f^-1: B A também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se f é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que f^-1 existe. Resta provar que f^-1 satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.
Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^50.
Um automorfismo de um anel A é um isomorfismo f: A A. Sendo f: Q Q é um automorfismo, mostre que
  • Se f(1)=a então a=1;
  • que f(n)=n para todo n in N;
  • que f(m)=m para todo m in Z
  • Mostre que f(mn)=mn.
  • Conclua que f(x)=x é o único automorfismo de Q.
Seja g: Z2 times Z3 Z6 definida por g(bara, barb)=3 a+4 b. Mostre que
  1. g está bem definida;
  2. g é um homorfismo de anéis;
  3. g é injetora;
  4. g é sobrejetora;
  5. g é a inversa da f dada no Exemplo 6. (Ou seja, mostre que f circ g(x)=x e g circ f(y)=y para todo x in Z2 times Z3 e todo y in Z6.)