f: Z8 Z2 times Z4 definida por f(barx)=(barx, barx);
f: R times R C definida por f(a, b)=a+b i.
Passo 1
Vamos analisar o exercício onde temos o anel com as operações usuais (soma e multiplicação componente a componente) e o anel com as operações habituais dos inteiros. A função dada é . O conteúdo principal aqui é entender homomorfismos de anéis, que são funções que respeitam as estruturas de soma e multiplicação dos anéis.
Para resolver este exercício, precisaremos verificar se é um homomorfismo de anéis, calcular seu núcleo e imagem caso seja homomorfismo, classificar (se é monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo) e, se for um isomorfismo, encontrar seu inverso.
Um homomorfismo de anéis f((x1, y1) cdot (x2, y2)) = f(x1 x2, y1 y2) = y1 y2 - x1 x2 deve satisfazer duas condições principais:
Preservação da adição: Para todos f(x1, y1) cdot f(x2, y2) = (y1 - x1)(y2 - x2) = y1 y2 - y1 x2 - x1 y2 + x1 x2 , .
Preservação da multiplicação: Para todos , .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
1. Preservação da adição:
Sejam e elementos de .
Portanto, preserva a adição.
2. Preservação da multiplicação:
Por outro lado,
Comparando as duas expressões, vemos que em geral. Portanto, não preserva a multiplicação.
Passo 3
Como não preserva a multiplicação, ele não é um homomorfismo de anéis. Portanto, não precisamos calcular o núcleo, a imagem ou classificá-lo como monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo.