Mostre que se é um isomorfismo de anéis, então a função inversa, também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que existe. Resta provar que satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que se é um isomorfismo de anéis, então a função inversa também é um isomorfismo de anéis.
O que é um isomorfismo de anéis? É basicamente uma função que:
É bijeção (ou seja, é injetora e sobrejetora).
Preserva as operações de adição e multiplicação dos anéis.
Para resolver isso, vamos precisar saber:
O que significa uma função ser bijetora.
O que é preciso para uma função ser um isomorfismo de anéis.
Como a função inversa se comporta em relação às operações dos anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se é uma bijeção, então existe uma função inversa tal que:
e
Isso significa que cada elemento de está emparelhado com um único elemento de , e vice-versa. Essa propriedade é essencial para que a inversa exista.
Passo 3
Agora, para mostrar que também é um isomorfismo de anéis, precisamos provar que ela preserva a adição e a multiplicação. Ou seja, precisamos mostrar que para quaisquer :
Essas são as propriedades e mencionadas na dica, que fazem parte da definição de homomorfismo de anéis.
Passo 4
Vamos começar provando a preservação da adição. Se , então como é bijetora, existem tais que:
Então,
Como é um homomorfismo de anéis, sabemos que:
Portanto:
Mas e , então:
Logo:
Isso prova que preserva a adição.
Passo 5
Agora, vamos provar que preserva a multiplicação. Novamente, para , temos tal que:
Então,
Como é um homomorfismo de anéis:
Portanto:
E como antes, e , então:
Logo:
Isso mostra que também preserva a multiplicação.
Resposta
Concluímos que a função inversa preserva tanto a adição quanto a multiplicação, satisfazendo assim as condições necessárias para ser um isomorfismo de anéis. Portanto, se é um isomorfismo de anéis, então também é um isomorfismo de anéis.