Mostre que se f: A B é um isomorfismo de anéis, então a função inversa, f^-1: B A também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se f é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que f^-1 existe. Resta provar que f^-1 satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que se é um isomorfismo de anéis, então a função inversa também é um isomorfismo de anéis.
O que é um isomorfismo de anéis? É basicamente uma função que:
  1. É bijeção (ou seja, é injetora e sobrejetora).
  2. Preserva as operações de adição e multiplicação dos anéis.
Para resolver isso, vamos precisar saber:
  • O que significa uma função ser bijetora.
  • O que é preciso para uma função ser um isomorfismo de anéis.
  • Como a função inversa se comporta em relação às operações dos anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se f^-1(f(a)) = a para todo a in A é uma bijeção, então existe uma função inversa f(f^-1(b)) = b para todo b in B tal que:
e
Isso significa que cada elemento de está emparelhado com um único elemento de , e vice-versa. Essa propriedade é essencial para que a inversa exista.

Passo 3

Agora, para mostrar que também é um isomorfismo de anéis, precisamos provar que ela preserva a adição e a multiplicação. Ou seja, precisamos mostrar que para quaisquer :
Essas são as propriedades e mencionadas na dica, que fazem parte da definição de homomorfismo de anéis.

Passo 4

Vamos começar provando a preservação da adição. Se f(a) = c , então como f(b) = d é bijetora, existem f^-1(c + d) = f^-1(f(a) + f(b)) tais que:
f(a + b) = f(a) + f(b)
f^-1(f(a) + f(b)) = f^-1(f(a + b)) = a + b
Então,
a + b = f^-1(c) + f^-1(d)
Como f^-1(c + d) = f^-1(c) + f^-1(d) é um homomorfismo de anéis, sabemos que:
Portanto:
Mas e , então:
Logo:
Isso prova que preserva a adição.

Passo 5

Agora, vamos provar que f(a) = c preserva a multiplicação. Novamente, para f(b) = d , temos f^-1(c cdot d) = f^-1(f(a) cdot f(b)) tal que:
f(a cdot b) = f(a) cdot f(b)
f^-1(f(a) cdot f(b)) = f^-1(f(a cdot b)) = a cdot b
Então,
a cdot b = f^-1(c) cdot f^-1(d)
Como f^-1(c cdot d) = f^-1(c) cdot f^-1(d) é um homomorfismo de anéis:
Portanto:
E como antes, e , então:
Logo:
Isso mostra que também preserva a multiplicação.

Resposta

Concluímos que a função inversa preserva tanto a adição quanto a multiplicação, satisfazendo assim as condições necessárias para ser um isomorfismo de anéis. Portanto, se é um isomorfismo de anéis, então também é um isomorfismo de anéis.

Exercícios relacionados

Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^50.
Encontre a equação do plano que contém o ponto M=(2,1,3) e que é perpendicular à reta r: x2=y-13=-z.
Em cada item, considerando os anéis indicados com suas operações usuais, verifique:
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique f, entre monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo de anéis.
(d) No caso de f ser um isomorfismo de anéis, encontre o homomorfismo inverso f^-1.
  1. f: Z times Z Z definida por f(x, y)=y-x
  2. f: Z Z times Z definida por f(x)=(2 x, 3 x);
  3. f: Q[raiz2] Q[raiz2] definida por f(a+b raiz2)=b-a raiz2;
  4. f: Q[raiz2] Q[raiz3] definida por f(a+b raiz2)=a+b raiz3;
  5. f: C M2(R) definida por f(a+b i)=[cca & -b b & a];
  6. f: R times R M3(R) definida por f(x, y)=[lllx & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & y];
  7. f: Z Z12 definida por f(x)=barx;
  8. f: Z8 Z2 times Z4 definida por f(barx)=(barx, barx);
  9. f: R times R C definida por f(a, b)=a+b i.
Um automorfismo de um anel A é um isomorfismo f: A A. Sendo f: Q Q é um automorfismo, mostre que
  • Se f(1)=a então a=1;
  • que f(n)=n para todo n in N;
  • que f(m)=m para todo m in Z
  • Mostre que f(mn)=mn.
  • Conclua que f(x)=x é o único automorfismo de Q.