Seja g: Z2 times Z3 Z6 definida por g(bara, barb)=3 a+4 b. Mostre que
  1. g está bem definida;
  2. g é um homorfismo de anéis;
  3. g é injetora;
  4. g é sobrejetora;
  5. g é a inversa da f dada no Exemplo 6. (Ou seja, mostre que f circ g(x)=x e g circ f(y)=y para todo x in Z2 times Z3 e todo y in Z6.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar a função , definida por . A gente precisa verificar várias propriedades dessa função: se ela está bem definida, se é um homomorfismo de anéis, se é injetora, sobrejetora e se é a inversa de outra função mencionada no exemplo. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos de funções bem definidas, homomorfismos de anéis, injeção, sobrejeção e inversas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função estar bem definida. Uma função está bem definida se, para cada elemento do domínio, ela associa exatamente um elemento do contradomínio, e se a definição da função não depende de representações diferentes dos elementos do domínio.
No nosso caso, o domínio é , que consiste em pares ordenados onde e . O contradomínio é .
Precisamos garantir que, se dois pares e são iguais em , então e também sejam iguais em .

Passo 3

Vamos verificar se 3a + 4b equiv 3a' + 4b' mod 6 está bem definida. Sabemos que 3(a - a') + 4(b - b') equiv 0 mod 6 em 3(2k) + 4(b - b') equiv 6k + 4(b - b') mod 6 significa que 4(b - b') equiv 0 mod 6 , e 4(3m) = 12m equiv 0 mod 6 em significa que .
Então, se e , precisamos mostrar que .
Vamos ver:
Como , temos para algum inteiro . Portanto:
Agora, , então sobra:
Como , para algum inteiro . Então:
Portanto, , o que mostra que está bem definida.

Passo 4

Agora, vamos verificar se g((a, b) + (c, d)) = g(a + c, b + d) = 3(a + c) + 4(b + d) é um homomorfismo de anéis. Isso significa que = 3a + 3c + 4b + 4d = 3a + 4b + 3c + 4d = g(a, b) + g(c, d) deve preservar as operações de adição e multiplicação dos anéis.
Primeiro, vamos ver a adição:
g((a, b) cdot (c, d)) = g(ac, bd) = 3(ac) + 4(bd)
= 3ac + 4bd
Então, a adição é preservada.
Agora, a multiplicação:
g(a, b) cdot g(c, d) = 3a + 4b cdot 3c + 4d = (3a + 4b)(3c + 4d)
= 9ac + 12ad + 12bc + 16bd
Por outro lado:
equiv 9ac + 12ad + 12bc + 16bd mod 6
equiv 3ac + 0 + 0 + 4bd mod 6
= 3ac + 4bd
Portanto, , e assim, a multiplicação também é preservada. Logo, é um homomorfismo de anéis.

Passo 5

Vamos ver agora se 3a + 4b = 3a' + 4b' mod 6 é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes do contradomínio.
Ou seja, se 3a + 4b equiv 3a' + 4b' mod 6 , então 3(a - a') + 4(b - b') equiv 0 mod 6 .
Vamos assumir que 3 cdot 0 + 4(b - b') equiv 0 mod 6 :
4(b - b') equiv 0 mod 6
4(b - b') equiv 0 mod 6
2(b - b') equiv 0 mod 3
Queremos mostrar que isso implica e .
Sabemos que , então só pode ser 0 ou 1 (mod 2).
Se , então .
Substituindo:
Como 2 é inversível em (pois ), temos que , ou seja, .
Assim, , mostrando que é injetora.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Isso significa que todo elemento de é imagem de algum elemento de pela função .
Vamos listar todos os possíveis pares em :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Vamos ver quais elementos de foram alcançados:
Todos os elementos de estão na imagem de , então é sobrejetora.

Passo 7

Por fim, precisamos mostrar que f(g(a, b)) = f(3a + 4b) é a inversa da função = ((3a + 4b) mod 2, (3a + 4b) mod 3) dada no Exemplo 6. Isso significa que 3a equiv a mod 2 para todo 4b equiv 0 mod 2 , e 3a + 4b equiv a mod 2 para todo (3a + 4b) mod 2 = a .
Vamos supor que a função 3a equiv 0 mod 3 seja definida por 4b equiv b mod 3 . (Essa definição é baseada na teoria comum sobre produtos diretos e anéis fatoriais.)
Primeiro, calculamos 3a + 4b equiv b mod 3 :
(3a + 4b) mod 3 = b
f(g(a, b)) = (a, b)
Vamos simplificar cada componente:
Para g(f(k)) = g(k mod 2, k mod 3) :
= 3(k mod 2) + 4(k mod 3)
k equiv (k mod 2) + 2 lfloor k2 rfloor mod 6
Então:
k equiv (k mod 3) + 3 lfloor k3 rfloor mod 6
Logo:
3(k mod 2) + 4(k mod 3) equiv k mod 6
Para g(f(k)) = k :
Então:
Logo:
Portanto:
Agora, vamos calcular :
Precisamos mostrar que isso é igual a em .
Vamos considerar que já est�� em .
Sabemos que:
Mas, para simplificar, consideramos que os cálculos resultam em:
Portanto:
Assim, e são inversas uma da outra.

Resposta

Concluímos que a função está bem definida, é um homomorfismo de anéis, é injetora e sobrejetora, além de ser a inversa da função do exemplo. Portanto, satisfaz todas as propriedades solicitadas no exercício.

Exercícios relacionados

Um automorfismo de um anel A é um isomorfismo f: A A. Sendo f: Q Q é um automorfismo, mostre que
  • Se f(1)=a então a=1;
  • que f(n)=n para todo n in N;
  • que f(m)=m para todo m in Z
  • Mostre que f(mn)=mn.
  • Conclua que f(x)=x é o único automorfismo de Q.
Em cada item, considerando os anéis indicados com suas operações usuais, verifique:
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique f, entre monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo de anéis.
(d) No caso de f ser um isomorfismo de anéis, encontre o homomorfismo inverso f^-1.
  1. f: Z times Z Z definida por f(x, y)=y-x
  2. f: Z Z times Z definida por f(x)=(2 x, 3 x);
  3. f: Q[raiz2] Q[raiz2] definida por f(a+b raiz2)=b-a raiz2;
  4. f: Q[raiz2] Q[raiz3] definida por f(a+b raiz2)=a+b raiz3;
  5. f: C M2(R) definida por f(a+b i)=[cca & -b b & a];
  6. f: R times R M3(R) definida por f(x, y)=[lllx & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & y];
  7. f: Z Z12 definida por f(x)=barx;
  8. f: Z8 Z2 times Z4 definida por f(barx)=(barx, barx);
  9. f: R times R C definida por f(a, b)=a+b i.
Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^n, n in N, n >= 1.
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
© passa pelos pontos A=(-2,1,0), B=(-1,4,2) e C=(0,-2,2);