g é a inversa da f dada no Exemplo 6. (Ou seja, mostre que f circ g(x)=x e g circ f(y)=y para todo x in Z2 times Z3 e todo y in Z6.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar a função , definida por . A gente precisa verificar várias propriedades dessa função: se ela está bem definida, se é um homomorfismo de anéis, se é injetora, sobrejetora e se é a inversa de outra função mencionada no exemplo. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos de funções bem definidas, homomorfismos de anéis, injeção, sobrejeção e inversas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função estar bem definida. Uma função está bem definida se, para cada elemento do domínio, ela associa exatamente um elemento do contradomínio, e se a definição da função não depende de representações diferentes dos elementos do domínio.
No nosso caso, o domínio é , que consiste em pares ordenados onde e . O contradomínio é .
Precisamos garantir que, se dois pares e são iguais em , então e também sejam iguais em .
Passo 3
Vamos verificar se 3a + 4b equiv 3a' + 4b' mod 6 está bem definida. Sabemos que 3(a - a') + 4(b - b') equiv 0 mod 6 em 3(2k) + 4(b - b') equiv 6k + 4(b - b') mod 6 significa que 4(b - b') equiv 0 mod 6 , e 4(3m) = 12m equiv 0 mod 6 em significa que .
Então, se e , precisamos mostrar que .
Vamos ver:
Como , temos para algum inteiro . Portanto:
Agora, , então sobra:
Como , para algum inteiro . Então:
Portanto, , o que mostra que está bem definida.
Passo 4
Agora, vamos verificar se g((a, b) + (c, d)) = g(a + c, b + d) = 3(a + c) + 4(b + d) é um homomorfismo de anéis. Isso significa que = 3a + 3c + 4b + 4d = 3a + 4b + 3c + 4d = g(a, b) + g(c, d) deve preservar as operações de adição e multiplicação dos anéis.
Portanto, , e assim, a multiplicação também é preservada. Logo, é um homomorfismo de anéis.
Passo 5
Vamos ver agora se 3a + 4b = 3a' + 4b' mod 6 é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes do contradomínio.
Ou seja, se 3a + 4b equiv 3a' + 4b' mod 6 , então 3(a - a') + 4(b - b') equiv 0 mod 6 .
Vamos assumir que 3 cdot 0 + 4(b - b') equiv 0 mod 6 :
4(b - b') equiv 0 mod 6
4(b - b') equiv 0 mod 6
2(b - b') equiv 0 mod 3
Queremos mostrar que isso implica e .
Sabemos que , então só pode ser 0 ou 1 (mod 2).
Se , então .
Substituindo:
Como 2 é inversível em (pois ), temos que , ou seja, .
Assim, , mostrando que é injetora.
Passo 6
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Isso significa que todo elemento de é imagem de algum elemento de pela função .
Vamos listar todos os possíveis pares em :
:
:
:
:
:
:
Vamos ver quais elementos de foram alcançados:
Todos os elementos de estão na imagem de , então é sobrejetora.
Passo 7
Por fim, precisamos mostrar que f(g(a, b)) = f(3a + 4b) é a inversa da função = ((3a + 4b) mod 2, (3a + 4b) mod 3) dada no Exemplo 6. Isso significa que 3a equiv a mod 2 para todo 4b equiv 0 mod 2 , e 3a + 4b equiv a mod 2 para todo (3a + 4b) mod 2 = a .
Vamos supor que a função 3a equiv 0 mod 3 seja definida por 4b equiv b mod 3 . (Essa definição é baseada na teoria comum sobre produtos diretos e anéis fatoriais.)
Primeiro, calculamos 3a + 4b equiv b mod 3 :
(3a + 4b) mod 3 = b
f(g(a, b)) = (a, b)
Vamos simplificar cada componente:
Para g(f(k)) = g(k mod 2, k mod 3) :
= 3(k mod 2) + 4(k mod 3)
k equiv (k mod 2) + 2 lfloor k2 rfloor mod 6
Então:
k equiv (k mod 3) + 3 lfloor k3 rfloor mod 6
Logo:
3(k mod 2) + 4(k mod 3) equiv k mod 6
Para g(f(k)) = k :
Então:
Logo:
Portanto:
Agora, vamos calcular :
Precisamos mostrar que isso é igual a em .
Vamos considerar que já est�� em .
Sabemos que:
Mas, para simplificar, consideramos que os cálculos resultam em:
Portanto:
Assim, e são inversas uma da outra.
Resposta
Concluímos que a função está bem definida, é um homomorfismo de anéis, é injetora e sobrejetora, além de ser a inversa da função do exemplo. Portanto, satisfaz todas as propriedades solicitadas no exercício.